積分について

質問

写真に添付している積分の問題を解いてほしいです．
極力，詳細な回答がほしいです．
回答できる問題のみの回答でも構いません．

よろしくお願いします．

一応こちらにも問題を書きます．

次の積分を( )内の置換を利用して行え．

1.
∫( dx / ( (x^2-1)^3) )

( (x-1) / (x+1) = t )

( )内の置換によって，次の関数を積分せよ．

2.
1 / ( (x+5) √(x^2+x+1) )

( x + (1/2) = （√3/2)tan t )
( √(x^2+x+1) = x + t )

3.
( 4-x^2)^(-3/2)

( x = 2sinθ )
( (2-x)/(2+x) = t )

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

A No.1 に補足がつかないなあ。
そもそも置換積分が何だか知らないのであれば、
演習以前に、教科書を読むところからだ。
知ってはいる…というのなら、途中で詰まるとしても、
何らかの式変形らしきものは試みられるはず。
手を動かさないで、他人の正解を眺めても、
解ったような錯覚がするだけで、
次回自分でできるようにはならないよ。
知ってはいるけど実行はできなかった 理由を
つきとめないと。
置換積分は、基本手技だからね。

回答No.2

info22_

すぐ回答が欲しい質問になってるけど、
ANo.1の回答から2日経過しても補足に何の書き込みもない所をみると、
置換の仕方そのものがわからないのでは？

1.の置換だけやってみると

I=∫dx/(x^2-1)^3 ...(1)
指定の
　(x-1)/(x+1)=t ...(2)
とおいて置換すると
xについて解くと　x=-(t+1)/(t-1) ...(3)
これから
　dx=d(-(t+1)/(t-1))
　 ={d(-(t+1)/(t-1))/dt}dt
　 =2dt/(t-1)^2 ...(4)
　1/(x^2-1)^3=1/((-(t+1)/(t-1))^2-1)=((t-1)^6)/(64t^3) ...(5)
(4),(5)を(1)に代入すれば置換ができ
I=∫((t-1)^4)/(32t^3) dt
被積分関数を部分分数分解すると
　((t-1)^4)/(32t^3)
　=(1/32)t-(1/8)+(3/16)(1/t)-(1/8)(1/t^2)+(1/32)(1/t^3)
となるから
I=(1/32)∫tdt-(1/8)∫dt+(3/16)∫(dt/t)
　-(1/8)∫(dt/t^2)+(1/32)∫(dt/t^3)

この先は積分できますね？

積分後、tの式の積分結果に、(2)のt=(x-1)/(x+1)を代入して元の変数xに戻せば良いでしょう。

やってみて、分からなければ、途中経過を補足に書いて、わからない箇所を質問してください。

他の問題についても、同じように変数変換してやってみてください。
わからない所は途中経過を補足に書いて質問するようにしてください。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

alice_44

置換のしかたが問題で指示されているのなら、
それに従って作業するだけでしょう。

積分の値はともかく、指示どおりに置換した
積分の式を、補足に書いてください。
とりあえず、そこまでが合っているか
チェックしましょうよ。