もっとスマートな低積分の求め方ってありますか？

質問

定積分の問題なのですが、すべて因数分解すると、
31/10の解を導くことができたのですが、
もっとスマートな方法はないでしょうか？
(2x+1)とtとした置換することも考えたのですが、この場合、
先頭のxが消えないので、どうすればいいのか思いつきませんでした。

問題: ∫{0→1}x(x^2+1)^4
=∫{0→1}(x^9+4x^7+6x^5+4x^3+1)
=(1/10)[x^10+5x^6+10x^4+10x^2+5]{0→1}
=(1/10)[1+5+10+10+5]-[0]
=(31/10)

わかる方、ご指南お願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

スマート以前に計算ミスを無くす事。

>∫{0→1}x(x^2+1)^4
∫{0→1}x(x^2+1)^4 dx

>=∫{0→1}(x^9+4x^7+6x^5+4x^3+1)
=∫{0→1}(x^9+4x^7+6x^5+4x^3+x)dx

>=(1/10)[x^10+5x^6+10x^4+10x^2+5]{0→1}
=(1/10)[x^10+5x^6+10x^4+10x^2+5x]{0→1}
途中の計算が違っていて、↓の結果だけ正しくなるのは不思議？

>=(1/10)[1+5+10+10+5]-[0]
>=(31/10)

別解）
∫{0→1}x(x^2+1)^4 dx
=(1/2)∫{0→1} (x^2+1)^4 d(x^2)
=[(1/5)(x^2+1)^5]{0→1}
=(1/5)(2^5-1)=(32-1)/10=31/10

お礼

ご指摘ありがとうございます。
転記時にミスをしていたようです。
気をつけるようにします。

別解の解き方もありがとうございます。
見た瞬間、なるほどーと思ってしまいました。
ほんと目から鱗でした。

ありがとうございました。