積分

質問

①∮log√（1+x）dx
②∮dx/1+4x^2
③∮dx/√4-x^2

この三問がどうしても答えがあいません。
どなたか解説してもらえませんか？2番と3番は置換ですよね…

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato）

積分定数は省きます。
数学IIIの範囲の微分・積分は、式の変形によって「見かけは違っているが実は正しい解答である」というケースも多々ありますので、積分計算をしてくれるアプリ（Windowsなら Microsoft Mathematicsなど）を用いてグラフを描き、関数として一致するかどうかを確認するとよいでしょう。

①
∫ log √(1+x) dx
= ∫ (1/2) log (1+x) dx
= ∫ (1/2) (1+x)’ log (1+x) dx
=. (1/2) (1+x) log (1+x) - ∫(1/2) (1+x) { log(1+x) }’ dx
= (1/2) (1+x) log (1+x) - ∫(1/2) dx
= (1/2) (1+x) log (1+x) - (1/2) x …答

②
x = (1/2) tan t と置換する。
dx = (1/2) { 1 / (cos t)^2 } dt = (1/2) { 1 + (tan t)^2 } dt = (1/2) (1+4x^2) dt
となるので

∫ dx / (1+4x^2)
= ∫{ (1/2) (1+4x^2) dt } / (1+4x^2)
= ∫(1/2) dt
= (1/2) t …答
※tan t = 2x なので、tanの逆関数をarctanとして (1/2) arctan(2x) と答えてもよい

③
x = 2 sint と置換する。
dx = 2 cost dt
となるので

∫dx / √(4-x^2)
= ∫( 2 cost dt ) / √{ 4 (cost)^2}
= ∫{ ( 2 cost ) / ( 2 | cost | ) } dt

ここで、costが正の値となるようにしておけば

= ∫dt = t …答
※sint = (x/2) なので、sinの逆関数をarcsinとして arcsin (x/2) としてもよい。