次の積分を適当な積分路をとって計算せよ。

質問

次の積分を適当な積分路をとって計算せよ。
∫[0→∞] dx/(x^2 + 1)^2(x^2 + 2)

という問題なんですが、''適当な積分路''の意味がよくわかりません。
lim[r→∞]∫[0→r] dx/(x^2 + 1)^2(x^2 + 2)
とやるだけではダメなんでしょうか？

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

I=∫[0→∞] dx/((x^2 + 1)^2*(x^2 + 2))
被積分関数が偶関数なので
=(1/2)∫[-∞→∞] dx/((x^2 + 1)^2*(x^2 + 2))
積分路Cを実軸と上半分の半円円弧（半径∞）にとって複素積分にすれば、積分路C内の一位の特異点における留数を求めて留数定理を適用すれば、積分が求まります。
=(1/2)∫[-∞→∞] dz/((z^2 + 1)^2*(z^2 + 2))
=(1/2)2πi*{Res(z=i)+Res(z=i√2)}
=π(√2-1)i/4

回答No.4

info22_

#2です。

A#2に積分の最後の式に貼り付けミスがありました。

誤：=π(√2-1)i/4
正：=π(√2-1)/4

#3さん指摘ありがとう。

お礼

みなさんありがとうございました。
代表してここにお礼を書かせて頂きます。
留数定理、ちょっと分かった気がしますｗ

回答No.3

OKXavier

解答が提示されたようですが、気になる点がありますので、横レス
させて頂きます。

info氏の最後にケアレスミスがあるようです。

>=π(√2-1)i/4

正しくは、
=π(√2-1)/4
だと思います。

また、z=iについては、二位の極に相当します。

回答No.1

OKXavier

>lim[r→∞]∫[0→r] dx/(x^2 + 1)^2(x^2 + 2)
>とやるだけではダメなんでしょうか？

ダメです。そもそもrって何？

>''適当な積分路''の意味がよくわかりません
自分が積分値を計算しやすいように適切に設定した積分路です。

大学生であれば、もっと専門書を読みましょう。