DFTの周期性の証明
私はf(n)の周期性の証明をしようとしました。私が本を参考にして使った定義式をそのまま書きます。
[定義1]
離散フーリエ変換は,f(n)(n=0,1,・・・,N-1)をサンプルデータとしたときそのDFTは
F(k)=Σ[N-1<n<0]f(n)exp(-j*2πnk/N)
と表すことができる。(k=0,1,・・・,N-1)
[定義2]
離散フーリエ逆変換は
f(m)=1/NΣ[N-1<k<0]F(k)exp(j*2πmk/N)
と定義される。ここでのmは(m=0,1,・・・,N-1)である。
私は定義式2を使って、mをn+rNと置き換えて(r:任意の整数、N:サンプル数)
f(n+rN)=Σ[N-1<k<0]F(k)exp(j*2π(n+rN)k/N)
=f(n)
という証明をしました。
ここで分からないことがあります。
IDFTの定義式中のf(m)のmと証明で使ったn+rNは対応しています。
定義2では、m=0,1,・・・,N-1となっています。
なので、n+rN=0,1,・・・,N-1ということになります。
しかし、定義1では、n=0,1,・・・・,N-1としています。
よって、定義に矛盾してしまいます。
式自体は間違っていないと思うので、間違っていると考えられるのは定義だと思います。
どのように定義を変えたらいいのかアドバイスください。
お礼
ありがとうございましたm(_ _)m