積分

質問

問題の解法がわからないので、質問させていただきます。

問　∫{(x^2-x+1)/(x^2+2x+5)}dx　を求めなさい。

この問題ですが、(x^2-x+1)/(x^2+2x+5)＝１＋(-3x+4)/(x^2+2x+5)

よって、与式＝∫{1+(-3x+4)/(x^2+2x+5)}dx　で求める。
ここからどうやったらいいのかわかりません。

教えてください。
お願いします。

回答No.5

info22 · ベストアンサー

整理すると
(x^2-x+1)/(x^2+2x+5)＝1-3(x+1)/(x^2+2x+5)-1/(x^2+2x+5)
第一項の積分
∫1dx=x+C1
第2項の積分
∫-3(x+1)/(x^2+2x+5)dx=-(3/2)∫(x^2+2x+5)'/(x^2+2x+5)dx
=-(3/2)ln(x^2+2x+5)+C2
第3項の積分
∫-1/(x^2+2x+5)dx=-(1/2)arctan((x+1)/2)+C3
この積分はA#2の中に書かれていますので省略します。

これらを加えて 積分定数をC1+C2+C3=C と置き変えれば良いですね。

回答No.7

inara1

ANo.6さんありがとうございます。
回答をそのまま書くと削除される恐れがあるので、置換積分が必要な第三項の積分だけ説明しました。ANo.5さんも回答そのものは書いていないのでいいんじゃないでしょうか。質問者さんは、ご自分で計算された結果が正しいのかどうか、確信が持てないかもしれないので削除覚悟で回答を書いておきます。この通りになれば正解です。
　　　問題の積分 = x - (3/2)*ln( x^2 + 2*x + 5 ) - (1/2)*arctan{ ( x + 1 )/2 } + C（定数）

回答No.6

arrysthmia

No.2 の間違いは、回答者自身が No.3 で訂正済みだから、
清書しただけの回答を、別の回答者が投稿するのは、
どうかと思う。

このサイトの傾向からして、たぶん No.5 に 20 Pt. がつく
のだが、それって道義的にどうなの？

回答No.4

f272

あ、私も少し計算違いをしていたようです。#2の回答者が計算方法をかいていますので、私は差し控えます。

回答No.3

inara1

最初の展開が間違っていました
　　( x^2 - x + 1 )/( x^2 + 2*x + 5 )
　　= 1 - ( 3*x + 4 )/( x^2 + 2*x + 5 )
　　= 1 - 3*x/( x^2 + 2*x + 5 ) - 4/( x^2 + 2*x + 5 )
　　= 1 - (3/2)*( 2*x + 2 )/( x^2 + 2*x + 5 ) - 1/( x^2 + 2*x +

回答No.2

inara1

( x^2 - x + 1 )/( x^2 + 2*x + 5 )
　　= 1 - ( 3*x + 4 )/( x^2 + 2*x + 5 )
　　= 1 - 3*x/( x^2 + 2*x + 5 ) - 4/( x^2 + 2*x + 5 )
　　= 1 - (3/2)*2*x/( x^2 + 2*x + 5 ) - 4/( x^2 + 2*x + 5 )
なので、最初の２項はそのまま積分できます。

第３項は
　　 x^2 + 2*x + 5 = ( x + 1 )^2 + 4
と変形すれば
　　　x + 1 =2*tan(t)
とおくことで
　　　( x + 1 )^2 + 4 = 4*{ 1 + tan^2(t) }
　　　dx = 2*{ 1 + tan^2(t) } dt
　　　→ dx/{ ( x + 1 )^2 + 4 } = 2*{ 1 + tan^2(t) }/[ 4*{ 1 + tan^2(t) } ] dt = dt/2
したがって
　　　∫dx/( x^2 + 2*x + 5 ) = ∫dt/2 = t/2 + C = (1/2)*arctan{ ( x + 1 )/2 }

回答No.1

f272

(x^2-x+1)/(x^2+2x+5)＝１＋(-3x+4)/(x^2+2x+5)
コレは単なる計算間違いです。
ちゃんと計算すれば、分子は分母を微分したものになります。

補足

回答ありがとうございます。

再度計算したところ、(x^2-x+1)/(x^2+2x+5)＝１＋(-3x+4)/(x^2+2x+5)ではなく、(x^2-x+1)/(x^2+2x+5)＝１＋(-3x-4)/(x^2+2x+5)となりました。

そこで、質問なのですが、分子は分母を微分したものにはここから、どのように考えたらいいのでしょうか？

分母の微分は2x+2　で、分子は-3x-4となりました。
ここから考え方がわかりません。教えてください。
お願いします。