交差弾力性間の関係（クールノーの合計条件）について。

質問

大筒です。
専門外なんですけど、興味があって、経済（ミクロ）を勉強しているのですが、最初の方でつまずいてしまいました。
質問は、交差弾力性間の関係のところで、
２つの財（Pi,Qi）（Pj,Qj）があり、

予算制約式
ｙ＝ΣPi*Qi（Σはiについてです）
の両辺をPjで偏微分すると、

０＝ΣPi*∂Qi/∂Pj + Qj

と教科書にあります。最後のQjはどこからでてくるのでしょうか？

予算制約式を
ｙ＝ΣPi*Qi + Pj*Qj
とすると、

０＝ΣPi*∂Qi/∂Pj + Qj + Pj*∂Qj/∂Pj

と、Qjはでてきますが、 Pj*∂Qj/∂Pj　が余分にでてきてしまいます。
∂Qj/∂Pjは０ではないと思うのですが、もしかして、
私の微分自体がまちがっているのでしょうか？

回答No.3

noname#108554

>0=Σ_(i≠j) Pi*∂Qi/∂Pj + Qj + Pj*∂Qj/∂Pj
>=Σ_(全てのi) Pi*∂Qi/∂Pj + Qj

で、1行目のΣと2行目のΣはどう違うか検討されましたか?

Σ_(i≠j) は、j番目を除くiについての和
Σ_(全てのi) は、文字どおり全部についての和
です。

まあ、summationを使わずに表現して、微分、
その後にΣに戻すというふうにすれば感じがつかめるでしょう。

回答No.2

noname#108554

間違えました。

0=Σ_(i≠j) Pi*∂Qi/∂Pj + Qj + Pj*∂Qj/∂Pj
=Σ_(全てのi) Pi*∂Qi/∂Pj + Qj

なので、教科書はあってます。
教訓は、「和はどこでとっているのか?を意識して計算しましょう。」
というところでしょうか。

お礼

ありがとうございます。
やはりこのΣでしたか、あまりこのΣについての認識が高校のときから、あまかったので。
また質問なんですけど、なぜQｊだけiの和について、残るのですか？

回答No.1

noname#108554

微分は間違ってないですね。

>予算制約式を
>ｙ＝ΣPi*Qi + Pj*Qj
>とすると、

のsummationは、j番目は除いてますね?
それなら、問題ないです。

すると、結論は教科書が間違っているか、
実は∂Qj/∂Pj=0ということになります。

お礼

早速の回答ありがとうございます。
教科書のほうでは、そのまま式変形していって、

-θj = Σθi*εij(Σはiについて)

という、クールノーの合計条件になっているので、あっていると思います。

∂Qj/∂Pj　は価格（Pj）に対する需要（Qｊ）の変化率なので０ではないとおもいます（教科書ではそのような財であるという条件設定はしていないです）。
でもibmさんがおっしゃるように、教科書がまちがってないとすると、∂Qj/∂Pj=0　ってことになりますね。
う～ん。解けない。
回答ありがとうございました。