微分方程式の変形について。

質問

クレローの微分方程式は

ｙ＝ｘｙ’＋φ（ｙ’）・・・・・（１）
で与えられる。

ｙ’＝ｐとおくと
ｙ＝ｘｐ＋φ（ｐ）・・・・・・（２）
となる。

両辺を微分すると
ｐｄｘ＝ｐｄｘ＋ｘｄｐ＋φ’（ｐ）ｄｐ・・・・・（３）
（３）式になる。

この（３）式がどうやって出て来たのかわかりません。

回答No.1

sanori

こんばんは。

ｙ＝ｘｐ＋φ（ｐ）・・・・・・（２）

右辺には２つの項がありますが、

１．
ｘｐ　をｘで微分すると、積の微分により、
ｄ（ｘｐ）／ｄｘ　＝　１・ｐ　＋　ｘ・ｄｐ／ｄｘ
　＝　ｐ　＋　ｘ・ｄｐ／ｄｘ

２．
φ（ｐ）をｘで微分すると、合成関数の微分により、
ｄ（φ（ｐ））／ｄｘ　＝　ｄφ／ｄｐ・ｄｐ／ｄｘ

よって、
ｄｙ／ｄｘ　＝　ｐ　＋　ｘ・ｄｐ／ｄｘ　＋　ｄφ／ｄｐ・ｄｐ／ｄｘ

ｄｙ／ｄｘ　＝　ｐ　と置いていたので、

ｐ　＝　ｐ　＋　ｘ・ｄｐ／ｄｘ　＋　ｄφ／ｄｐ・ｄｐ／ｄｘ

両辺にｄｘをかけて
ｐ・ｄｘ　＝　ｐ・ｄｘ　＋　ｘ・ｄｐ　＋　ｄφ／ｄｐ・ｄｐ

ご参考に。

補足

コメントありがとうございます。
ｙ＝ｘｐ＋φ（ｐ）・・・・・・（２）

の両辺をｘで微分する。
ｙ’＝１・ｐ＋ｘ・ｄｐ／ｄｘ＋ｄ（φ（ｐ）／ｄｐ）・（ｄｐ／ｄｘ）・・・・・（３）

ｙ’＝ｐより

ｐ＝ｐ＋ｘ・（ｄｐ／ｄｘ）＋（φ’（ｐ））・（ｄｐ／ｄｘ）・・・（４）

両辺にｄｘをかけると

ｐ・ｄｘ＝ｐ・ｄｘ＋ｘ・ｄｐ＋φ’（ｐ）・ｄｐ・・・（４）

だったんですね。
とくに
φ’（ｐ）＝ｄ（φ（ｐ））／ｄｐ
だったのですね。

よくわかりました。ありがとうございました。