微分方程式が解けません。

質問

y-px=2√(1+p^2)　　　ただしp=dy/dx

においてxに関して微分することにより微分方程式を解け

という問題なんですが、解けません。
式の両辺を２乗したあとどのように解けばいいんでしょうか？？教えていただけたら幸いです。お願いします。

回答No.3

nious · ベストアンサー

#2ですが、適当なところもあり、余り自信はないですが一応過程を。

y-px=2√(1+p^2)、xについて微分すると、yはpへpはp'になるから、
p-(p'x+p)=2pp'/√(1+p^2) → -x√(1+p^2)=2p → x^2(1+p^2)=4p^2 → p=dy/dx±x/√(4-x^2)
y=±√(4-x^2)+C、実際に方程式を満たすのは、y=√(4-x^2)

お礼

ありがとうございます。ｐを用いたままだと解き易いですね。気づきませんでした。

回答No.4

Tacosan

ケアレスミスだと思いますが√(1+p^2) の微分が間違ってます＞#3.
pp'/√(1+p^2) のはず.
あと, p' が恒等的に 0 である可能性も一応考慮する必要あり.

お礼

係数が２なので間違ってないと思います。

０の時も考慮するのいつも忘れがちなので気をつけたいと思います。

回答No.2

nious

y=√(4-x^2) かな(^^;)。

補足

どうやって解いたんですか？よかったら詳しく教えていただけないでしょうか？？

回答No.1

Tacosan

「x に関して微分することにより」って書いてるんだから, 素直にそうしてみたら?

補足

計算していくと(4-x^2)(dy/dx)^2って項が出てきたり、yもxの関数だから・・・・？？という感じでそのxの微分すらどうやってしたらいいのかわからないんです。。。