logの問題

質問

log(10)2=aとするとき、log(10)25=2-2a
とあるのですが、公式を使って解く、とあり
何の公式を使ったのか教えてください。

途中式がlog₁₀25＝log₁₀（100/4）　になるみたいなのですがなぜ100/4　になったのかわかりません。
25＝100/4というのはわかりますが。。。

わかる方お願いします。

回答No.2

chie65536（@chie65535） · ベストアンサー

公式
log₁₀(a/b)＝log₁₀aーlog₁₀b
log₁₀(a×b)＝log₁₀a＋log₁₀b
を使います。

log₁₀25＝log₁₀（100/4）なのは判りますね？「25」を「100/4」に言い換えただけです。

log₁₀（100/4）を、公式「log₁₀(a/b)＝log₁₀aーlog₁₀b」を使って「log₁₀100ーlog₁₀4」にします。

log₁₀25
＝log₁₀(100/4)
＝log₁₀100ーlog₁₀4

次に「4」を「2×2」にします。「4」を「2×2」に言い換えただけです。

log₁₀25
＝log₁₀(100/4)
＝log₁₀100ーlog₁₀（2×2）

次に、log₁₀（2×2）を、公式「log₁₀(a×b)＝log₁₀a＋log₁₀b」を使って「log₁₀2＋log₁₀2」にします。

log₁₀25
＝log₁₀(100/4)
＝log₁₀100ーlog₁₀（2×2）
＝log₁₀100ー｛log₁₀2＋log₁₀2｝

ここで「log₁₀100」は「10を何乗かすると100になる値」ですから「2」です。「log₁₀100」を「2」に置き換えます。

log₁₀25
＝log₁₀(100/4)
＝log₁₀100ーlog₁₀（2×2）
＝2ー（log₁₀2＋log₁₀2）

次に「log₁₀2」ですが、これは「aそのもの」です。aに置き換えます。

log₁₀25
＝log₁₀(100/4)
＝log₁₀100ーlog₁₀（2×2）
＝2ー（log₁₀2＋log₁₀2）
＝2ー（a＋a）

「a＋a」を「2a」に置き換えます。

log₁₀25
＝log₁₀(100/4)
＝log₁₀100ーlog₁₀（2×2）
＝2ー（log₁₀2＋log₁₀2）
＝2ー（a＋a）
＝2ー２a

ゆえに

log₁₀25＝2ー２a

となります。

お礼

詳しく回答いただき、わかりやすかったです。
回答ありがとうございました！

回答No.6

atkh404185

m=n　⇔　log(a)m=log(a)n
だからです。

25＝100/4 の両辺に log₁₀ をとって
log₁₀25=log₁₀(100/4)
になります。

例えば、
x=5 の両辺を ３乗して
x^3=5^3
と、３乗しても等号が成り立ちます。

θ=60° のとき
sinθ=sin60°
のように、両辺に　sin　をつけても等号が成り立ちます。

こんな感じでとらえたらよいのでは？

お礼

ありがとうございます。

回答No.5

bran111

>途中式がlog₁₀25＝log₁₀（100/4）　になるみたいなのですがなぜ100/4　になったのかわかりません。

常用対数では10と2が最も扱いやすいという経験則があります。

どんな数でも10と2の積や商で表せれば大体もらった！という感じになります。

A=10^a/2^b

のように書けたときは

log(10)A=log(10)10^a-log(10)2^b=a-blog(10)2

というのは解りますか

log(10)10^a=a

log(10)xy=log(10)x+log(10)y

log(10)x/y=log(10)x-log(10)y

を使っています。

わかれば

log₁₀25＝log₁₀(100/4)=2-2log(10)2=2-2a　　　(a=log(10)2)

まで一気に走れるるでしょう。

お礼

ありがとうございます。

回答No.4

chie65536（@chie65535）

追記。

当方の回答の

＞次に「4」を「2×2」にします。「4」を「2×2」に言い換えただけです。

は

次に「4」を「2の2乗」にします。「4」を「2^2」に言い換えただけです。

と変更することで

法則
log₁₀(a^b)＝b×log₁₀a
も使えます。

log₁₀25
＝log₁₀(100/4)
＝log₁₀100ーlog₁₀（2^2）
＝2ー2×log₁₀2
＝2ー2a

なお、対数法則が下記に記載されています。参考にして下さい。
http://www.geocities.jp/phaosmath/elmtrasfn/explog/loglaw.htm

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

fujinomiya chitose（@f_chitose）

25=100 ですので、
log(10)25=log(10)100/4 はいいですよね。

log(10)b/a=log(10)b-log(10)a という公式ありますから、それを使って

log(10)100/4=log(10)100-log(10)4

log(10)100=2 100 =10を2回かけたものです。
log(10)4 ですが、
ここで、
log(10)a^b=blog(10)a を使って
log(10)4 =log(10)2^2=2log(10)2=2a

log(10)25=log(10)100-log(10)4=2-2a

参考URL：

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/log1.html

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

178-tall

>…
>途中式がlog 25＝log （100/4）　になるみたいなのですがなぜ100/4　になったのかわかりません。
>25＝100/4というのはわかりますが。。。

log () を常用対数とすれば、
　log (2) = a
とすると、
　10^a = 2

25 = 100/4 だから、
　log (25) = log (100/4)
　= log (100) - log (4)
　= log (10^2) - log (2^2)
　= 2*log (10) - 2*log (2)

ここで、
　2*log (10) = 2
　2*log (2) = 2a
なのだろう。

お礼

回答ありがとうございます。
理解できました！