logの問題たくさん…

質問

どれか１つでもいいんで分かったら式とか説明を出来るだけ詳しく書いて教えて下さい。

(1)３０００＜４分の５のｎ乗＜６０００を満たす整数ｎの値を求めよ。ただしｌｏｇ（１０）２＝０．３０１０、ｌｏｇ（１０）３＝０．４７７１とする。　

(2)０．４のｎ乗を小数で表すとき、小数第３位に初めて０でない数字が現れるような整数ｎの値を求めよ。ただし、ｌｏｇ（１０）２＝０．３０１０とする。

(3)ろ過するたびに水に含まれる有害物質の１０％を除去％％する装置がある。ろ過を繰り返して、有害物質を当初含まれている量の５％以下にしたい。何回繰り返せばよいか。ただし、ｌｏｇ（１０）２＝０．３０１０、ｌｏｇ（１０）３＝０．４７７１とする。

次の方程式、不等式を解け。
(4)ｌｏｇ底２（－ｘ＋３）＝ｌｏｇ底４（２ｘ＋８）

(5)ｙ＝ｌｏｇ底ａ（ｘの２乗－４ｘ＋３）とする。
４≦ｘ≦６の時、ｙの最大値が－１となるａの値を求めよ。ただし、ａ＞０、ａ≠１とする。

回答No.3

hinebot · ベストアンサー

まだ回答のない(4),(5)について。
底a,真数bの対数をlog[a]bと書くことにします。

(4)について
底の変換公式はOKですか？
log[a]x=log[b]x/log[b]a
ですね。
この公式を用いて右辺の底４を左辺の底２に変換します。

右辺＝{log[2](2x+8)}/log[2]4={log[2](2x+8)}/2
　　＝log[2](2x+8)^(1/2)
となります。底がそろえば真数同士が等しいとできるので
-x+3 = (2x+8)^(1/2)
両辺２乗して
(-x+3)^2 = 2x+8
整理して x^2-8x+1=0 x=4±√15
ここで、真数＞０ですから、-x+3>0 よりx<3
2x+8>0 より x>-4 よって、x=4-√15 となります。
（最後、真数＞０の条件を忘れないこと。）

(5)について
対数関数のグラフはOKですか？
ｙ=log[a]x のグラフは、ｙ軸を漸近線として右上がり（単純増加）の
グラフになります。まず、これを確認しておきます。

次に真数部分について y=x^2-4x+3のグラフを考えます。
y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1 ですから、x=2を軸とする下に凸なグラフで
あることがわかります。

問題の４≦ｘ≦６の区間は軸の右側になるので、x^2-4x+3が最小になるのは
ｘが最小すなわちx=4のときになります。
そして、先に確認したとおり、x^2-4x+3が最小になるとき、y=log[a](x^2-4x+3)も最小になります。よって、x=4のときyが最小値-1をとることになります。

x=4のとき、y=log[a](x^2-4x+3)=log[a]3
となり、これが-1ですから、a= 1/3 と求まります。

わからなければ補足ください。

回答No.2

zabuzaburo

(1)(2)(3)あたりは、実は指数の知識だけで解くことができます。
「log(10)2 = 0.3010」という条件は、
指数で言えば「2 = 10^0.3010」というのと全く同じ内容を
「対数語」に翻訳したものに過ぎません。
同様に、「log(10)3 = 0.4771」は「3 = 10^0.4771」と同じです。
すなわち、100や1000のようなキリの良い数なら
「10^2」「10^3」と書き直すことができますが、
それ以外の数も無理やり「10のナントカ乗」にそろえるための情報です。

これを使って、(1)の不等式
3000 < (5/4)^n < 6000
に登場する数を全部
「10のナントカ乗」にしてしまいましょう。
今は対数のことは忘れてください。
これより先、私はいっさいlogという文字を書きません。

まず、3000 = 3 × 1000
ここで 3 = 10^0.4771、1000 = 10^3より、
3000 = (10^0.4771)×(10^3) = 10^(0.4771 + 3) = 10^3.4771
となります。また
6000 = 2 × 3 × 1000
= (10^0.3010)×(10^0.4771)×(10^3)
= 10^(0.3010 + 0.4771 + 3) = 10^3.7781
です。真ん中の 5/4 は、5 = 10 ÷ 2 を利用して
(こんなの初めから思いつかないのが当たり前です。一度経験してください)
5/4 = (10/2) / 4 = 10/8 = 10 / 2^3 = 10 / (10^0.3010)^3
= 10 / 10^(0.3010×3) = 10 / 10^0.9030 = 10^1 / 10^0.9030
= 10^(1 - 0.9030) = 10^0.0970
したがって
(5/4)^n = (10^0.0970)^n = 10^(0.0970×n)

これによって、もとの不等式は
10^3.4771 < 10^(0.0970×n) < 10^3.7781
と、すべて「10の●乗」の形に統一されました。
10は1より大きい数なので、肩に乗っている数が大きいほど
その値も大きくなります。したがって肩の数同士を比較すればよく、
3.4771 < 0.0970×n < 3.7781
ここまで来れば1次不等式です。0.0970で全ての辺を割れば
3.4771/0.0970 < n < 3.7781/0.0970
35.8…… < n < 38.9……
これを満たす整数nはn = 36, 37, 38です。

(2)「小数第3位に初めて0でない数字が現れる数」とは、
例えば0.001とか0.0058とか0.00999とかです。その範囲は
「0.001以上、0.01未満」になることを納得するまで考えてください。
すなわち、「0.001 ≦ 0.4^n < 0.01」という不等式を解けばよいわけです。
(1)と全く同様に「10の●乗」にすると、
0.001 = 1/1000 = 1/ 10^3 = 10^(-3)
0.01 = 10^(-2)
0.4 = 4/10 = 2^2 / 10 = (10^0.3010)^2 / 10 = 10^0.6020 / 10^1
= 10^(0.6020 - 1) = 10^(-0.3980)
したがって「10^(-3) ≦ 10^(-0.3980×n) < 10^(-2)」と書き直せて、
-3 ≦ -0.3980×n < -2
2/0.3980 < n ≦ 3/0.3980(不等号の逆転に注意!)
5.02…… < n ≦ 7.53……
ゆえにn = 6, 7となります。

(3)１回で0.9倍、2回で0.9^2 = 0.81倍、……、n回で(0.9^n)倍になります。
「0.9^n < 0.05」を「10の●乗」にそろえて解いてみてください。
-0.0458×n < -1.3010となれば正解です。n > 28.4……より「29回」が答です。

このように、対数の理解を深めるためには、
初めのほうに出てくる問題を
面倒でも指数に直して一度解いてみて、
その上で「対数の性質を用いた解法」と見比べることが大切です。

回答No.1

kony0

(1)3000<(5/4)^n<6000より、log(5/4)3000<n<log(5/4)6000
(2)0.001<=(0.4^n)<0.01を解く。
y=log(0.4)xは単調減少なので、log(0.4)0.001>=n>log(0.4)0.01

あとは、底の変換とかをマスターすれば解けるのではありませんか？
log(5/4)3000={log(10)3000}/{log(10)[5/4]}
log(10)3000=3+log(10)3
log(10)[5/4]=log(10)5-log(10)4
ここで、log(10)5=log(10)[10/2]=log(10)10-log(10)2=1-log(10)2
このあたりでしょうか？

あと、(4)はlog(4)x=log(2)x/log(2)4=(1/2)log(2)xを利用してください。
(-x+3)^2=(2x+8)という式が導出できればOKでしょう。

とはいえ、log自体にかなりの苦手意識をもたれているようです。たぶんまだなじめていないのだと思うのですが，これだけのヒントでは足りないかもしれません。そのときは改めて回答を申し出てください．