ベクトルの問題

質問

AD//BC、BC=2ADである四角形ABCDがある。点P,Qが
↑PA+2↑PB+3↑PC=↑QA+↑QC+↑QD=↑0
を満たすとき、
(1)ABとPQが平行であることを示せ。
(2)3点P,Q,Dが一直線上にあることを示せ。

(1)
AD//BC,BC=2ADから
↑BC=2↑AD=2↑AD
↑AC-↑AB=2↑AD
↑AC=↑AB+2↑AD・・・(1)

さらに↑PA+2↑PB+3↑PC=↑0から、
(↑AA-↑AP)+2(↑AB-↑AP)+3(↑AC-↑AP)=↑0
6↑AP=2↑AB+3↑AC
(1)を代入すると
6↑AP=2↑AB+3(↑AB+2↑AD)
=5↑AB+6↑AD
↑AP=(5/6)↑AB+↑AD・・・(2)

また、↑QA+↑QC+↑QD=↑0から
(↑AA-↑AQ)+(↑AC-↑AQ)+(↑AD-↑AQ)=↑0
3↑AQ=↑AC+↑AD
(1)を代入すると、
3↑AQ=(↑AB+2↑AD)+↑AD
　　 =↑AB+3↑AD
↑AQ=(1/3)↑AB+↑AD・・・(3)

ここで、↑PQ=↑AQ-↑AP を
計算すると(2)、(3)より、
↑PQ={(1/3)↑AB+↑AD}-{(5/6)↑AB+↑AD}
=(-1/2)↑AB・・・(4)
∴ ↑PQ=(-1/2)↑AB

よって、ABとPQが平行である。

(2)3点P,Q,Dが一直線上にあることを示せ。

↑PD=↑AD-↑AP
(2)を代入して、
↑PD=↑AD-{(5/6)↑AB+↑AD}
　　=(-5/6) ↑AB
　　=(5/3)↑PQ

よって、3点P,Q,Dは一直線上にある

こうやると教えてもらったんですけど、合っていますか？
こういうタイプの問題はとりあえず基準点を定めて位置ベクトルに直せばいいんですか？
それとも他にいいやり方があるんですかね？(x_x;)

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

＞こういうタイプの問題はとりあえず基準点を定めて位置ベクトルに直せばいいんですか？
＞それとも他にいいやり方があるんですかね？(x_x;)
そうですね。
位置ベクトルの原点を決めて、平面であれば 1次独立な 2つのベクトルを決めます。
通常は、位置ベクトルの原点を起点とするベクトルをとります。
（空間であれば、3つのベクトルを決めないといけません。）

いまの問題であれば、点Aを位置ベクトルの原点として、↑ABと↑ADを 2つのベクトルとしていますね。

そして、あとは与えられた点を↑A○の形に「ことごとく」変形していきます。

ひとつ、ベクトルの計算を進めていく上でのコツを。
＞さらに↑PA+2↑PB+3↑PC=↑0から、
＞(↑AA-↑AP)+2(↑AB-↑AP)+3(↑AC-↑AP)=↑0

慣れていれば、いきなり「引き算」で書き出しても構いませんが、
↑PB＝↑PA+ ↑AB、↑PC＝↑PA+↑ACなどというように、
「はさみ込む」ことで足し算にしてから変形すると、間違いが少なくなります。
あとは、↑PA＝ -↑AP（向きが逆になるとマイナスがつく）としていきます。

解答はこれでいいと思いますよ。＾＾

お礼

遅れてすみません。ありがとうございました。

回答No.3

htms42

＃２です。
＃２でおもりを使って考えるというのをやっています。でもやはり余りなじまない方法でしょう。
ベクトルでやってみます。

ＡＣ，ＢＣの中点をＭ，Ｎとします。
ＤＭＮは同一直線上にあってＡＢに平行です。
Ｐ，ＱはＤＭＮ上にあるという事を示せば（１）（２）の両方に答えた事になります。
・Ｑについて
ＱＡ＋ＱＣ＝２ＱＭ
２ＱＭ＋ＱＤ＝０
Ｍ、Ｑ、Ｄは同一直線上にあります。
（ＭＱ：ＱＤ＝１：２）

・Ｐについて
ＡＢ上に点Ｒを取ります。
ＰＡ＋２ＰＢ＝３ＰＲ
３ＰＲ＋３ＰＣ＝０
ＰＲ＋ＰＣ＝０

Ｒ，Ｐ，Ｃは同一直線上にあります。
点ＰはＲＣの中点です。
ＲＣとＭＮの交点でＲＣは２等分されますから点ＰはＭＮ上にあります。

※Ｐ，Ｑは重心であるという事は使っていません。
でも重心であるというイメージがあってこういう解き方が出てきています。
結果を図で確かめるというのもこのイメージがあるとしやすいです。
でも思いつきのきっかけになった内容が解答に出てくるとは限らないのです。
＃２の最初に書いた「Ｑは△ＡＣＤの重心である」という事が出発点になっています。

お礼

遅れてすみません。ありがとうございました。

回答No.2

htms42

少し違う方法でやってみます。

△ＡＣＤの重心をＧとします。基準点をＯとします。
ＯＧ＝(ＯＡ＋ＯＣ＋ＯＤ)/３（ベクトルの記号の↑を省略しています。）
この式でＯＧ＝０とすると
ＧＡ＋ＧＣ＋ＧＤ＝０
重心をベクトルの基準点とした時の表現です。
点Ｑは△ＡＣＤの重心です。

普通はこの式で表される重心は△ＡＣＤの図形の重心ですね。
でも３つの頂点Ａ，Ｃ，Ｄに質量の等しい物体を置いたとした時の重心にもなっています。
（この意味の重心の方がより基本的なものだろうと思います。棒の片方の端におもり２つ、他方におもり１つをぶら下げた時にどこで支えれば釣り合うか？　・・・　１：２に分けるところです。物理ではこちらの方が先に出てきます。）

ＡＣ，ＢＣの中点をＭ、Ｎとします。ＤＭＮはＡＢに平行な直線です。
（ＢＣ＝２ＡＤはここに効いてきます。）
ＱはＤＭ上にあります。（ＤＭ：ＭＮ＝２：１）・・・（１）
ＰはＭＮ上にあります。（ＭＰ：ＰＮ＝２：１）・・・（２）

（１）Ａ，Ｃ，Ｄに質量の等しいおもりが１つずつあるとします。
この重心ＱはＤのおもりが１つ、Ｍにおもりが２つあるとした時の重心と同じです。
ＤＱ：ＱＭ＝２：１

（２）Ａ，Ｂ，Ｃの各点におもりが１つ、２つ、３つある場合の重心がＰです。
Ｃにあるおもりを１＋２で考えます。
Ａにあるおもり１つとＣにあるおもり１つを合わせたおもり２つをＭに置きます。
Ｂにあるおもり２つとＣにある残りのおもり２つを合わせたものをＮに置きます。
Ｐはこの重心と同じです。
ＭＰ：ＯＮ＝２：１
（ＡとＢの重心をＲとします。ＡＲ：ＲＢ=２：１　です。
Ａに１つ、Ｂに２つおもりがあるということはＲにおもりが３つあるということと同じ働きです。
Ｒにおもりが３つ、Ｃにおもりが３つある場合の重心はＲＣの中点です。この中点はＭＮ上にあります。）

数学の問題としてはベクトルとしての扱いだけで解くのかもしれませんが私はあまり好きではありません。

図形の重心を求める問題がよく物理で出てきます。
三角形の重心は三角形だけで出てくるのではありません。
長方形を考えます。重心は対角線の交点にあります。
縦、横、２つの辺を２等分する線を引くと１／４の面積の長方形が４つできます。
ここから１つ切り取ったＬ字型の図形の重心はどこにあるでしょう。
（Ａ）（Ｄ）
（Ｂ）（Ｃ）
から（Ｄ）を切り取る。
（Ａ）
（Ｂ）（Ｃ）

（ａ）（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）のそれぞれを重心Ｇａ，Ｇｂ、Ｇｃで代表させるとＧａ，Ｇｂ、Ｇｃに同じ質量のおもりのある三角形になります。三角形の重心の式で求められます。
（ｂ）（Ｂ）（Ｃ）を合わせたもので考えるとＧｂ，Ｇｃの中点におもりが２つある場合になります。
どちらで求めても同じです。

切り抜いた（Ｄ）を（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）のどこかに張り付けた場合はどうでしょう。

重心は物理的な概念です。
元々の定義は質量が分布している場合についてです。
ＯＧ＝(Ｍａ・ＯＡ＋Ｍｂ・ＯＢ＋Ｍｃ・ＯＣ＋・・・)/(Ｍａ＋Ｍｂ＋Ｍｃ＋・・・)

お礼

遅れてすみません。ありがとうございました。