アーベル群の基本定理の証明について

質問

Gをp-群としaをGの位数最大の元とする．<a>⊂Gとしb∈G＼<a>でpb∈<a>となるような元をとる．pb∈<a>であるからpb=maをみたす整数mが存在する．もしpとmが互いに素であると仮定すると，ord(b)=p ord(a)である．

この「もしpとmが互いに素であると仮定すると，ord(b)=p ord(a)である．」の部分が分からないのですが，なぜこの仮定からord(b)=p ord(a)が導かれるのでしょうか？ord(a)でaの位数を表しています．

回答No.1

jcpmutura

定義)位数がpの冪である群をp群とよぶ

Gをp-群としaをGの位数最大の元とする
<a>⊂Gとしb∈G-\<a>でpb∈<a>となるような元をとる
pb∈<a>であるからpb=maをみたす整数が存在する

Gはp群で
Gの位数はpの冪だから
Gの元の位数はpの冪だから
ord(b)=p^k
ord(a)=p^n
となる整数k,nがあり
(p^k)b=0
(p^n)a=0
となる
bは<a>の元でないからk≧1
ma=pb
の両辺にp^{k-1}をかけると
(p^{k-1})ma=(p^{k-1})pb=(p^k)b=0
だから
(p^{k-1})mはaの位数p^nの倍数となるから
(p^{k-1})m=j(p^n)
となる整数jがある
aはGの位数最大元だから
bの位数p^kがaの位数p^nより大きくなる事はない
p^k=ord(b)≦ord(a)=p^n
k-1<k≦n
だからp^nはp^{k-1}で割り切れる
両辺をp^{k-1}で割ると
m=j(p^{n-k+1})
n-k+1>0
だから
p^{n-k+1}はmの約数となる
もしpとmが互いに素であると仮定すると
p^{n-k+1}=1
n-k+1=0
となってn-k+1>0に矛盾するが
あえてn-k+1>0に矛盾する事を無視すると
n-k+1=0
k=n+1
ord(b)=p^k=p^{n+1}=p(p^n)=p(ord(a))
↓
ord(b)=p(ord(a))
が導かれるが
ord(b)>ord(a)
となって
aがGの位数最大元
ord(b)≦ord(a)
である事に矛盾する