絶対値を含む不等式の証明（3）

質問

たびたび(^^ゞお世話さまです。

三度、絶対値を含む不等式の証明についてどなたか教えてください。

問題
|a|<1かつ|b|<1ならば|a+b|+|a-b|<2であることを証明せよ。
ただし、a,bは実数とする。

問題集の解答はこうなんですが・・・↓

p=|a+b|+|a-b|とおくと、
p^2=2a^2+2b^2+2|a^2-b^2|
（i）a^2>=b^2のとき、p^2=4a^2
∴ p=2|a|<2(p>0より)
（ⅱ）a^2<b^2のときも同様にp=2|b|<2となる。
∴|a+b|+|a-b|<2

↑解答の意味がわからなくてこまっています。
特にp^2=2a^2+2b^2+2|a^2-b^2|、こうなる部分が疑問です。

私の考えでは、
a^2+2ab+b^2+a^2-b^2+a^2-b^2+a^2-2ab+b^2
=4a^2
になるのですが・・・。

私の方法はまちがっていますでしょうか？
訂正頂けると幸いです。↓

|a+b|+|a-b|<2
=a^2+2ab+b^2+a^2-b^2+a^2-b^2+a^2-2ab+b^2
=4a^2-4
=(2a+2)(2a-2)<0
|a|<1かつ|b|<1なので
よって|a+b|+|a-b|<2
（証終）

回答No.3

zabuzaburo · ベストアンサー

一般に (|x| + |y|)^2 を展開することを考えます。、
ご質問の問題では、x = a + b、y = a - b の場合に当たります。
まず単純に展開すると、
(|x| + |y|)^2 = |x|^2 + 2|x||y| + |y|^2……(*)
となります。これは絶対値に限った話ではなく、
単なる (● + ▲)^2 の展開公式に当てはめた結果に過ぎません。
絶対値の性質が登場するのはこの後です。
★一般に|A||B| = |AB|です。
すなわち、それぞれ絶対値をとって正にした上で掛け算しても、
先に掛け算してから絶対値をとっても、答は変わらないというわけです。
これは、具体的な数字で試してみれば容易に納得できると思います。
また、この特別な場合として |x|^2 を考えることができます。
|x|^2 というのは |x||x| のことですから、
|x|^2 = |x||x| = |x・x| = |x^2|
ここで x^2 は必ず0以上なので、幸運にも絶対値記号が外れて
|x|^2 = x^2 となります。

上の性質を用いると、(*)の右辺はさらに
= x^2 + 2|xy| + y^2
と変形することができます。
handmishさんの誤りは、
|x|^2と|y|^2の絶対値記号は外すことができるという事実につられて、
真ん中の|xy|の絶対値記号まで外してしまったことにあります。
ここだけは中身の正負によって場合分けをせざるを得ないわけです。

……と、ここまではOKのようですね(^^;)
この続きを分かり易く書いてみましょう。

p^2 = 2[(a^2 + b^2) + |a^2 - b^2|]

(i)a^2 - b^2 ≧ 0 のとき
p^2 = 2[(a^2 + b^2) + (a^2 - b^2)] = 4・a^2 = (2a)^2
この式だけなら p = ±2aとなるが、もともと p≧0 なので、
pは「2aと-2aのうち、0以上のほう」に等しい。
この「」内は、|2a|のことに他ならないから、結局
p = |2a| = 2|a|となる。
(ii) a^2 - b^2 < 0 のとき
p^2 = 2[(a^2 + b^2) - (a^2 - b^2)] = 4・b^2 = (2b)^2
全く同様にして p = 2|b|

上の(i)(ii)より、pは 2|a|か2|b|のどちらかに必ず等しくなる。
どちらに等しくなるかは、a^2 - b^2の符号によって決まる。
いま|a| < 1かつ|b| < 1という仮定のもとであるので、
pがどちらに等しかろうとも p < 2・1 = 2 が言える。

参考書や問題集の解答というものは、
本当なら読む人の模範となるような
親切で分かりやすいものであって欲しいですよね。
ところが実際には省略が多く、
そのくせ「こなれた」言い回しが使われるので、
その解答を見ただけで理解できないといけないのだ、
こういう解答が「デキル人」の答案というものなのだ、
といった錯覚におちいりそうになります。
handmishさんのように自分で疑問をきちんと表現できる方であれば、
「数学の答案らしい答案」を目指すのではなく、
「どんな書き方を使ってでも、この『模範解答』よりも
分かり易く解答を書いてやろう！」
というスタンスで臨んでみてはいかがでしょうか。

とは言っても、handmishさんの質問の趣旨は、
「この解答はどういう意味なのか？」というだけではなく、
「なぜこのように解くのか？」ということだとお見受けします。
不明な点があれば補足してください。

お礼

回答ありがとうございます。

＞ここだけは中身の正負によって場合分けをせざるを得ないわけです。

このことばは知識になかっただけに「そうか」と理解のきっかけになりました。
なにが理解のきっかけになるかわからないものです。

あと、
＞p = |2a| = 2|a|
と、
＞p = 2|b|

２つのpは＜２ということでようやく理解できました（たぶん）。
だから、題意が証明されるんですよね。

＞「どんな書き方を使ってでも、この『模範解答』よりも
＞分かり易く解答を書いてやろう！」
＞というスタンスで臨んでみてはいかがでしょうか。

このスタンスいいですね。数学はそんなに神経質にならないほうが
向上するらしいのですが、受験勉強とかでやっているわけではないので（既卒）、
理解しながらやっていきます。

高校時代はすっごく苦手でしたがわかると楽しいですね。はまっています(^^ゞ。
これもみなさまのおかげ。

また登場しますのでよろしくお願いします。
ちなみにこの問題はお茶大でした。

回答No.5

Mell-Lily

証明の仕方は、基本的に自由です。極端な話、数学的に正しければ、どんな方法を用いても構いません。

回答No.4

Mell-Lily

p^2の正しい計算方法は、以下のようになります。

　(|a+b|+|a-b|)^2
=|a+b|^2+2|a+b||a-b|+|a-b|^2
=|(a+b)^2|+2|(a+b)(a-b)|+|(a-b)^2|
=(a+b)^2+2|a^2-b^2|+(a-b)^2
=2a^2+2b^2+2|a^2-b^2|

この計算で、用いた絶対値に関する規則は、次の二つです。
　|x||y|=|xy|
　x>0 ⇒ |x|=x

handmishさんの計算結果は、
　(|a+b|+|a-b|)^2=4a^2
ということですが、これが正しいかどうかは、計算結果をチェックしてみれば分かります。仮に、a=1,b=2としてみましょう。

　(|a+b|+|a-b|)^2
=(|1+2|+|1-2|)^2
=(|3|+|-1|)^2
=(3+1)^2
=4^2
=16

　4a^2
=4×1^2
=4

よって、a=1,b=2のときは、
　(|a+b|+|a-b|)^2=4a^2
は、成立していません。

一方、

　2a^2+2b^2+2|a^2-b^2|
=2×1^2+2×2^2+2|1^2-2^2|
=2+8+2|1-4|
=10+2|-3|
=10+2×3
=10+6
=16

ですから、a=1,b=2のときは、
　(|a+b|+|a-b|)^2=4a^2
は、成立しています。

絶対値があるときとないときとでは、計算方法が異なりますから、注意が必要です。と言いましても、次の3つの規則を使えば、四則演算に関しては、すべての計算が可能です。

・x≧0ならば|x|=x、x<0ならば|x|=-x（絶対値の定義）
・|x||y|=|xy|
・|x|/|y|=|x/y|

お礼

いつも回答ありがとうございます。

具体的な数を代入してなりたつか調べるというのは早速つかわせてもらいます。

＞・x≧0ならば|x|=x、x<0ならば|x|=-x（絶対値の定義）
＞・|x||y|=|xy|
＞・|x|/|y|=|x/y|

この規則もしっかり頭に入れて問題に取り組んでいきます。
またよろしくお願いします。

回答No.2

xjr7569

こんばんは。熱心ですね。

>問題
>|a|<1かつ|b|<1ならば|a+b|+|a-b|<2であることを証明せよ。
>ただし、a,bは実数とする。

p=|a+b|+|a-b| とおくと
p^2=|a+b|^2+2|a+b||a-b|+|a-b|^2
=(a+b)^2+2|(a+b)(a-b)|+(a-b)^2
=a^2+2ab+b^2+2|a^2-b^2|+a^2-2ab+b^2
=2a^2+2b^2+2|a^2-b^2|

となります。（|p|^2=p^2,|p||q|=|pq|という性質を使いました）

ところでしつこいようで申し訳ないのですが、証明の書き方として、

>|a+b|+|a-b|<2…(*)
>=a^2+2ab+b^2+a^2-b^2+a^2-b^2+a^2-2ab+b^2
>=4a^2-4
>=(2a+2)(2a-2)<0
>|a|<1かつ|b|<1なので
>よって|a+b|+|a-b|<2
>（証終）

の(*)のところの <2 はつけるべきではありません。

お礼

こんばんは。たびたび回答ありがとうございます。助かります。

＞p=|a+b|+|a-b| とおくと
p^2=|a+b|^2+2|a+b||a-b|+|a-b|^2
=(a+b)^2+2|(a+b)(a-b)|+(a-b)^2
=a^2+2ab+b^2+2|a^2-b^2|+a^2-2ab+b^2
=2a^2+2b^2+2|a^2-b^2|

の部分は理解できました(^。^)。

＞<2 はつけるべきではありません

でした。わかっていなかったですね(^^ゞ。以後、気をつけます。

訂正
|a+b|+|a-b|
=a^2+2ab+b^2+a^2-b^2+a^2-b^2+a^2-2ab+b^2
=2a^2+2b^2+2|a^2-b^2|
ここからがちょっと理解できずにいます。
解答どおりではあると思うんですが・・・。

回答No.1

teo98

個々の絶対値、は、
|a+b|^2=a^2+2ab+b^2
|a-b|^2=a^2-2ab+b^2
|a+b||a-b|=|a^2-b^2|

∴p^2=(|a+b|+|a-b|)^2
=|a+b|^2+2|a+b||a-b|+|a-b|^2
=2a^2+2b^2+2|a^2-b^2|

このとき、絶対値の式の中身を(i)(ii)で分けてみただけです。

（i）a^2>=b^2のとき、不等式がとれる。
　　　　　p^2=2a^2+2b^2　+2(a^2-b^2)

（ⅱ）a^2<b^2のとき、不等式をとる代わりに負の符号がつく。
　　　　　p^2=2a^2+2b^2　-2(a^2-b^2)

お礼

早速の回答ありがとうございます。

＞|a+b|^2=a^2+2ab+b^2
|a-b|^2=a^2-2ab+b^2
|a+b||a-b|=|a^2-b^2|

ここ。私は勘違いしてました。
おかげで気づきました。

＞（i）a^2>=b^2のとき、不等式がとれる。
　　　　　p^2=2a^2+2b^2　+2(a^2-b^2)

＞（ⅱ）a^2<b^2のとき、不等式をとる代わりに負の符号がつく。
　　　　　p^2=2a^2+2b^2　-2(a^2-b^2)

なんとなく理解できるのですが、私はいままで平方完成して因数分解して
証明されたとして解いていたので、どうもしっくりこないです。

不等式の証明てワンパターンじゃないんでしょうか？？