絶対値記号を含む不等式の証明

質問

|a-b|>=|a|-|b|
の証明で等号条件の求め方が
(a-b)b>=0 すなわちa>=b>=0またはa<=b<=0
となってるのですが(a-b)b>=0はどうやったら出てくるのでしょうか？
お願いします。

回答No.7

koko_u_

>-2ab-2|ab|>=0
>で大丈夫でしょうか？

これでようやく、「両辺を単純に二乗してはいけません」とアドバイスできるわけです。

回答No.6

koko_u_

>こうなるんですかね・・・？
なりません。もう一度やり直し。

補足

-2ab-2|ab|>=0
で大丈夫でしょうか？
完全に誤解しててルートのように扱ってました・・・。

回答No.5

take_5

＞センスでしょうか？

不等式の証明や整数問題は、これといった定石のようなものがないから辛いし、だから面白い。
センスも必要だが、ある程度は“慣れ”で補える。

別解を示しておく。

|a-b|≧|a|-|b|から、
(1)|a|-|b|≦0の時は、|a-b|≧0から自明。
(2)|a|-|b|≧0の時は、Ａ＝|a-b|、Ｂ＝|a|-|b|とすると、Ａ≧0、Ｂ≧0から両辺を2乗しても同値。Ｐ＝（Ａ）＾2-（Ｂ）＾2＝2（｜ab｜-ab）。
従って、ab≧0の時（実は、|a|-|b|≧0からa≧0なんだが）Ｐ＝2（ab-ab）＝0。
ab≦0の時、Ｐ＝-4ab≧0.

以上から、|a-b|≧|a|-|b|。

回答No.4

koko_u_

>2b-2|ab|でしたすいません。
>両辺を二乗したやつです。

まったく何を言わんとしているのかわかりません。
「両辺を二乗したやつ」が「-2b-2|ab| 」なんですか？

補足

(|a-b|)^2 >= (|a|-|b|)^2
a-b >= a -2|ab| +b
-2b-2|ab| >= 0
この場合って
-2b-2|a||b| >= 0
こうなるんですかね・・・？馬鹿でごめんなさい

回答No.3

koko_u_

>a-b>=a-2|ab|-b
>2|ab|>=0というような考えになってしまって

第 1式、第 2式ともに、どこから来ているのかわかりません。
どうやってその式のような「考え」になったのかを更に補足して下さい。

お礼

-2b-2|ab| ですorz

補足

2b-2|ab|でしたすいません。
両辺を二乗したやつです。

回答No.2

take_5

＞(a-b)b>=0はどうやったら出てくるのでしょうか？

|a-b|≧|a|-|b|から、|a-b|＋|b|≧|a|≧0。両辺を2乗して引いてみろ。

補足

ありがとうございますできました。
この問題の場合自分だと
2|ab|>=0でa=0又はb=0のとき　と書いてしまいそうです。
|a-b|＋|b|≧|a|≧0を見つけるコツ等あるのでしょうか？
センスでしょうか？

回答No.1

koko_u_

>(a-b)b>=0はどうやったら出てくるのでしょうか？
さあ？
まずは自力で等号条件を求めて補足にどうぞ。

補足

a-b>=a-2|ab|-b
2|ab|>=0というような考えになってしまって
答えを見たら全く違うので困ってます。