全ての命題を含む集合は無限集合ですか？

質問

言語は、とくに言語の中の語彙に注目すると有限です。
したがって、言語がいくら発展しても語彙が無限になることはできません。
また、言語の種類も有限です。

したがって、語彙は有限です。

そこで、語彙＋記号で構成される平叙文（これを命題とします）は有限と考えてよいでしょうか。

全ての命題を含む集合が有限集合ということになれば、「学問は有限である」と言ってよいでしょうか？

学問の「大きさ」を、その学問で検討される命題の数で推し量ろうという考えは妥当でしょうか？

数学や哲学、論理学に精通した識者の方より、お考えをお聞かせいただきたくお願い申し上げます。

回答No.4

ok9608 · ベストアンサー

私は哲学、数学の専門家ではありません。大間違いの可能性はあります。

全ての命題は単位言葉（日本語、英語、・・・数学、・・・記号など有限個の単位言語）の有限個の組み合わせで成り立っており　　かつ　学問は命題の有限個の組み合わせ　なので　学問は有限であるという　ご指摘はその通りだと思います。

ただし　その有限個の個数は巨大であり　学問探究に差し支えるものはなにもないと思います。

昔　京大の桑原武雄先生は俳句は第2芸術であると批評したことがあります。一つの理由はたかが６０個ぐらいの文字から１７文字を選ぶ作業であって機械作業でできる可能性を指摘し　芸術の意味をうたいこむ　には俳句創造ルールは芸術より一段低位ではないかというのです。
実際に６０個の文字から１７文字を選ぶ機械的俳句の総数は　重複順列（ああ・・・・あ１７字　も含めて）なので
　　　６０Π17＝６０の１７乗＝＞３０桁
これが俳句（川柳も入っている？）の総数ということです。１億人日本人が一人一秒一句創るとして一年１０＾７秒、１０＾１５年かかるということです。京コンピューター１秒に１０＾１６句創るとして１０＾７年＝＞１千万年　かかるということです。ところで俳句生産が枯渇してきた話は聞いたことがありません。　もちろん　桑原先生は俳句枯渇を示唆したのではなく　人を俳句に注目さすための論文を世に問うたのです。

広げて　文字数を６０－＞１０００、論文の文字数を１０００００字としますと　機械的論文の総数は
　　　　１０００Π１０００００＝１０００の１０万乗＝＞３０万桁
京京コンピューター（もちろん世界には現れていません）１秒１０＾３２個の論文を創るとして年間１０＾３９個、３０万桁÷３９桁＝２９９９７０桁年かかります。

以上のように巨大数は人間の限界を教えてくれていることは確かでしょう。

参考までに。

お礼

御意。

ちなみに、
2013年1月に発見された、現在分かっている中で48番目のメルセンヌ素数 2の57885161 乗－ 1であり、十進法で表記したときの桁数は1742万5170桁に及ぶそうです。

回答No.7

amenhotep2000

mokuzou 100年さん　おはようございます。

語彙が有限かどうかという命題について思うことがあるので回答します。

最近の日本の若者言葉において、例えば、女性は「美しい、綺麗」等などの言葉は、一切使わず、すべて「カワイイ」に統一されて話されてます。男性も、「ものすごく美味しい」と言う言葉を「ヤバイ」です。

これらの若者言葉は、語彙力の低下と思われますが、言葉をある面、一元化しているようにも、ある意味で言葉の多様化ではと考えられます。

そして、アンチエイジングが流行する日本において、私たちの中年世代も「カワイイ」「ヤバイ」は日常会話で普通に使われ始めてます。そのうち広辞苑に載る言葉かもしれません。

また、哲学の本を読んでいたら、参考文献に「「Transzendentale Deduktion der reinen Verstandesbegriffe」 とあり紙媒体のドイツ語の辞書で調べたら「超越論的演繹的純粋理性」までわかったのですが、この「begriffe」が載っていませんでした。パソコンで調べたところ「begriffe」は「概念や理由」の意味のようですが、カントの「純粋理性批判」であるかは不明です。「Verstandesbegriffe」も紙ので辞書を引いても出てこず、カントは２つの単語を結合させ、ひとつの単語を造語したのかもしれません。

井上陽水の名曲「少年時代」に出てくる「風あざみ」も井上陽水の造語です。

ですから言語は人間の恣意によってゆらぎ、語彙は有限でないかもしれません。

言葉と記号の関係は１９世紀のソシュールが始めたものと思っておりましたが、私の知っている限り、言語と記号歴史を遡ると中世の神学者アウグスティヌスに行き着きました。

古典的な定義かもしれませんが、アウグスティヌスの記号の定義によると

「記号(signum)とは、それが諸感覚に持ち込む像 (species)以外に、その像とは異なるものを、それ自身によって思惟 (cogitatio)の中にもたらすものである。」

と著作である「キリスト教の教え」で述べてます。

簡単な例を挙げると、人は煙を視覚により見たら、その下に見えないはずの火を連想するというものです。

現在の言語学に通じるかわかりませんが、アウグスティヌスによる言葉と記号の関係の考察した文献としていいものは、アウグスティヌスの著書「教師論」をお薦めします。問答法でわかりやすく書かれてますが、ラテン語の単語や文法を知らなければ、少々難しいかもしれません。

私は優先順位の高い文献を読むため、まだ目を通しただけなので、この場をお借りしてコメントすることは控えます。

一番簡単な方法は、マサチューセッツ工科大学のチョムスキー博士に聞くのが一番と思いますが、mokuzou 100nennさんのSNSを駆使して何とかなりませんか？

チョムスキー博士の研究室の電話番号がわかったら、教えてください(笑）

お礼

回答有難うございます。

随分難しい本をたくさん読まれるのですね。

私はドイツ語の本はすっかり読まなくなりましたが、
Transzendentale Deduktion der reinen Verstandesbegriffeは
「純粋な了解概念に由来する先験的演繹」
とするのが良いのではないでしょうか。

derは属格ですから、普通は所属・所有を表し「～の」で良いのですが、この場合は敢えて「～に由来する」と訳してみました。

概念と語彙の対応を考えると境界領域が常に漠としているので、コミュニケ―ションの厳密さが損なわれます。
そこで、概念を一旦横に置いて、純粋に語彙に注目することで曖昧さを排除できないかと考えました。

回答No.6

stmim

＞したがって、語彙は有限です。

１つの語彙の文字数制限を考えるのでしょうか？
もし１つの語彙に対して文字数制限を考えない場合、作成可能な語彙数は無限になります。

＞そこで、語彙＋記号で構成される平叙文（これを命題とします）は有限と考えてよいでしょうか。

例えば、自然数を含む平叙文の集合は自然数の集合が無限なので無限となります。
また、平叙文の長さに制限がない場合、平叙文の集合は無限となります。

＞全ての命題を含む集合が有限集合ということになれば、「学問は有限である」と言ってよいでしょうか？

表記されない学問はないと思うので、表現の集合が有限だった場合、学問は有限であると思います。ただ、命題の集合は無限だと思います。

現実で考えた場合、新しく学問が進み新しい表記が必要になるたびに、新しい語彙が開発されます。そして言語には無限に表現ができる可能性があります（実用的でない長さの語彙ができてしまうかもしれませんが）。したがって、学問は無限の可能性があります。

お礼

回答ありがとうございます。

１．人類が誕生してから有限の時間しか経過していないので、現在までに定義した語彙は有限です。
２．現時点で有限集合である語彙を、何倍に増加させようとも、何乗に爆発させようとも、未来永劫に有限のママです。
３．したがって、語彙は有限です。

回答No.5

人の道（@hitonomichi35）

＞>空集合だけから冪操作により無限集合を生成できることは証明されています。
＞質問者が数学に疎い大工だからって、適当なこと言って騙しちゃあいけませんぜ。

分かってないよーだから、一応イメージだけ示しておく。
以下のようにして空集合だけから冪操作により無限集合を生成できるのである。

{　Φ，{Φ}，{{Φ}}，{Φ,{Φ}}，　・・・以下無限に続く・・・}

＞人の道に反する行為だな(笑)

人が親切心で教えてあげたのに、それも知らず仇で返すとは呆れたもんだ。
素朴集合論のことは忘れて、まず人の道を歩みなはれ。

お礼

１．人類が誕生してから有限の時間しか経過していないので、現在までに定義した語彙は有限です。
２．現時点で有限集合である語彙を、何倍に増加させようとも、何乗に爆発させようとも、未来永劫に有限のママです。
３．したがって、語彙は有限です。
４．語彙が有限であるから、有限個の語彙の組み合わせである論理命題の集合は有限です。
５．論理命題全体の部分集合である学門は有限です。

ここで「論理命題全体の部分集合」ではない学門にまで拡張すると、すなわち整数論を含む場合などでは、ゲーデルの不完全性定理によって、有限であるとも有限でないとも言えなくなるのかもしれないな。ここはまだよくわからない。なんせ大工の頭は２０世紀初頭、ゲオルグ・カントールの時代でストップしてるからな、、、。

回答ありがとうございました。

回答No.3

人の道（@hitonomichi35）

全ての命題を含む集合は冪集合の一種と考えることができます。
集合論によると空集合だけから冪操作により無限集合を生成できることは証明されています。
この辺りのことを心に留めて、まずは素朴集合論の初歩から紐解いてみてはどーか。

お礼

>空集合だけから冪操作により無限集合を生成できることは証明されています。

質問者が数学に疎い大工だからって、適当なこと言って騙しちゃあいけませんぜ。
人の道に反する行為だな(笑)

回答No.2

FEX2053

これ、素数が無限である証明を転用できませんか？

１．語彙＋記号で構成される平叙文が有限であると仮定する

２．１．より「すべての語彙＋記号で構成される平叙文」は得ることができる

３．２．で得られた文章のいずれかに「ちょ～」とか「とても」とかの語彙を
付加したり、複数の文章を続けて読み込んだりした場合、成り立つ文章は
必ずあり得る。

４．３．ゆえに２．は誤り。ゆえに命題１．は誤り。すなわち
「語彙＋記号で構成される平叙文」は無限に存在する。

こんな感じですかね。ま、間違えているかもしれませんが。

お礼

有難うございます。

「ちょ～」とか「とても」も、もともと語彙集合の要素だから、３．はなにも新しい命題を創生していないでしょう？

回答No.1

trytobe

ゲーデルの第２不完全性定理は、命題が有限個である中でゲーデル文G （に対応させた数値であるゲーデル数）を証明できる命題（に対応させた数値であるゲーデル数 npmm） による背理法にて

有限に閉じている「帰納的公理化可能な理論が、無矛盾であれば、自身の無矛盾性を証明できない」ことを証明しています。

ゲーデルの不完全性定理 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E3%81%AE%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86

公理系が全命題の集合体であり、ゲーデル数が命題数に相当する概念なわけです。

お礼

有難うございます。

私の問題設定が、一気に一般化しすぎたようです。
問題を特殊なケースに矮小化して、再定義してもよろしいでしょうか？

ゲーデルの不完全性定理が機能しない範囲に逃亡する事にします。
第2不完全性定理 は「自然数論を含む帰納的公理化可能な理論、、、」関して成立しますので、自然数論を含まない帰納的公理化可能な理論に限定しようと思います。

＝＝＝ 　再定義された問題　＝＝＝
自然数論およびその他の数学を除く全ての学問を構成する命題は有限でしょうか。
ここで命題は一階述語論理、高階述語論理を含まない論理命題とします。
＝＝＝

もし、お時間があれば、上記の特殊なケースに関して学問の有限性が成立するかどうか、お考えをご教授いただければ幸いです。