ZFCの論理式の表す内容について

質問

集合論と形式的な論理式の関係についてです、よろしくお願いします。
ZFCで扱われるのは煎じ詰めれば、有限の文字列(∋などを含んだ論理式)だと思うのですが、そんなZFCにより再帰的でない関数や実数から実数への関数全体などのいろいろな無限構造を表現し議論することが多いと感じます。しかし再帰的ですらない関数全体などを有限にすぎない記号列で表現できるのでしょうか。
つまりZFCはどうして十分な高い表現能力を持っているといえるのだろう、ということなのですが。
もちろん、そのような複雑な無限構造も考えたり、思い描いたりすることはできると思いますし、可能ならば数学的に扱えるようにしておくべきだとも思います。
誤解されるかもしれませんが、哲学的な話をしたいわけではありません。そうではなく、フォーマルな意味で有限の形式的な文字列がきちんと意図した構造を表現している、ということは数学的にはどのようにして保証されているのか、ということを伺いたいのです。

回答No.1

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取り敢えず、
『「実数体から実数体への写像の内、再帰的でないもの全体」というのをきちんとZFCの記号の範囲でかけるのか？』
という問いでよいですか？そうならば順番に構成していけば良い。

＊自然数全体の集合 N
ZFCの中で「自然数全体の集合」が定義できる事を知るには、「順序数」といわれるものを知らなくてはいけない。その上で無限公理を使って定義しますが、細かいことは公理的集合論の初歩を学習することになります。

＊有理整数環 Z
N × Nの適当な同値関係による商集合として定義すればよい。ここで使う同値関係とか、同値関係による「商集合」とかいうのは、ZFCの記号で書ける。

＊有理数体Q
Z× Zの適当な同値関係による商集合として定義すればよい。

＊実数体R
Qを元に、Dedekindの方法で定義するのが早い。

＊実数体から実数体への関数全体
一般に、「集合aから集合bへの写像全体」というのは、どう定義されるかご存知ですよね？

＊実数体から実数体への写像の中で、再帰的でないもの全体
写像が「再帰的」というのをZFCの記号で書いて、「そうでないもの」全体とすればよい。写像が再帰的というのは、結局写像が「こういった形かこういった形かこういった形で書けるもの」という感じになると思います。

というわけで、やりたくないけど、ZFCの記号だけで書こうと思えば、頑張れば書ける。やろうとは思いませんけど。