述語論理におけるコンパクト性 いくらでも大きい有限

質問

述語論理のコンパクト性より
　「論理式の集合△は、いくらでも大きな有限集合を議論領域とするモデルによって充足可能ならば、△は無限集合を議論領域とするモデルによって充足可能である」
というものが、出てきますが、
そもそも、このいくらでも大きい有限集合と無限集合とは異なるものなのでしょうか（同じ意味ならば上の定理は何もいってないことになりますよね）。無限集合の定義というのがＺＦＣの無限公理からのものなら帰納的に定義されているものなので、それならいくらでも大きい有限（ｋ→ｋ＋１をいえる）というのと同じなのではないですかね・・・。

　また、上の証明では
Ａnを「すくなくともn個のものがある」　たとえばＡ2は「∃x1∃x2(x1≠x2)」などとして
△∪{A1,A2,A3,A4,A5・・・An・・・}
を考えるわけですが・・・の部分はこのままでは無限の論理式を含んだ形になっています、がこれも無限の論理式をそのまま考えることはできないので「無限個の論理式とはどういう意味か」に相当する（おそらくメタ的な）定義があると思うのですが、それはそういったものでしょうか。もしくはそういう定義がないとすると、どう考えればいいのでしょうか。

　質問としては、集合のレベルでの無限といくらでも大きい有限とは異なるものなのかということと、論理式の数においてその数が無限とはどういうことを指しているのかということです。
　コンパクト性などはモデルと論理式の両方にまたがるメタ的定理なので、その内容に現れる無限という言葉は（「集合における無限」、「論理式の数における無限」として）それぞれの体系での意味としてとらえる必要があるにも関わらず日常語の意味（限りがないというラフな使い方）にひっぱられていることが私の混乱の原因としてあると思うのですが、この分野に明るい方いらっしゃいましたらご回答ください。よろしくお願いします。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

ご質問は論理式のモデルとは直接の関係がなく、単に「無限集合って何だ？」ということでしょう。そう捉え直した上で色々お調べになると解決するかと思います。

> その内容に現れる無限という言葉は（「集合における無限」、「論理式の数における無限」として）それぞれの体系での意味としてとらえる必要がある

いや、そんなことはありません。どっちも同じ意味で「無限」という言葉を使っています。論理式の個数を数えるのは述語論理のやることではないでしょ。だから「論理式の数における無限」とは、「論理式を要素とする集合の濃度が無限だ」というときの「無限」のこと。
　「メタ的」と仰る所はおそらく「複数の領域をまたぐような」というほどの意味かと思われますが、それとはちょっと違う意味で「メタ的」な概念です。すなわち、論理式の体系を（とりえあず意味を捨象して）「ある規則で生成される文字列の集合」として扱う超論理（普通に言えば「数理論理学」）は、論理学に対するメタ理論であり、そこでは論理式（つまり文字列）の集合を考える。

> 日常語の意味（限りがないというラフな使い方）にひっぱられていること

こちらは当たっていると思います。

　ZF公理系では、無限集合が帰納的に定義されているわけではない。無限公理は、いわば天下りに「無限集合が存在する」ということを言っているんです。どんな有限集合とも要素が一対一対応できない集合ってことですね。
　で、そのうち最小のものを自然数の集合Nとすると、Nの上では数学的帰納法が使える。
　可算無限個の要素を持つ集合とは、「どんな有限集合とも要素が一対一対応できないが、自然数の集合とは要素が一対一対応できるような集合」ってことです。

　ご承知の通り、「いくらでも大きい有限集合」という表現は、「要素の個数（濃度）が有限であれば何でも」ってことで、これはある論理式を自然言語に翻訳したときの断片（たとえば"∀x(|x|∈N⇒"に当たる）であり、これだけではどんな対象をも指してはいない。なので、

> 集合のレベルでの無限といくらでも大きい有限とは異なるものなのか

という問いはそもそも意味をなしていません。

お礼

遅くなりました、申し訳ありません。
いつも回答、ご教授ありがとうございます。

>論理式の個数を数えるのは述語論理のやることではないでしょ

　たしかにそうですね、それは論理式の数を数える、論理式の数についての推論をするというのは集合側で行われることということでしょうか。

>論理式の体系を（とりあえず意味を捨象して）「ある規則で生成される文字列の集合」として扱う超論理（普通に言えば「数理論理学」）は、論理学に対するメタ理論であり、そこでは論理式（つまり文字列）の集合を考える

　数理論理学においては集合論をつかって論理式についての議論を行う、集合論によって論理式を対象とした議論が行える
ということだと思うのですが、論理式を対象として集合の世界に持ち込んで論理式の統語規則や文字列の変形、推論まで集合論の方で考えるとことができるのでしょうか。
具体的な行為としてどういうことをやるのか、どういうように集合論を扱うかが想像できないのです（どういった記号の対応付けをするのかなど）。

　こういったことを考えるときに、数学は考える場のようなものをどこにおいて、何を対象としているのか（直接の体系としては集合論を扱っている動かしているが、その対象は述語論理においている、など）今どこでどこのことを考えているのかということをしっかり意識する必要があるにも関わらずそれができていないのだと感じます。
そしてそれは一体系の中で何ができるのか、使い方が理解できていないためと思うのです。上の論理式を対象とする集合論の扱いも、集合論の中に集合論のモデルを構成するというのはどういったことかなども同じように体系内で何ができるのかが見えていないためにその内容がつかめないのだと考えてはいるのですが。
すいません、考えてることがまとまらず、いってるとこも抽象的に、舌足らずになってきてしまったのでまた明日書きたいと思います。

　回答していただいて本当にありがとうございました、助かりました。

補足

申し訳ありません、明日書くなどと言っておきながら遅くなってしまいすみませんでした。

　書いた内容についてまだ考えているのですが、結論を整理できずいるので一旦、下げさせていただきます。
もう少しまとまりましたら改めて質問させていただきたいと思うます。
　今回は回答どうもありがとうございました。