本物の要素関係∈と言語としてのεの関係

質問

再質問になります、御容赦ください。
「数とは何かそして何であるべきか」や「ゲーデルと２０世紀の論理学　４」などにおいて

集合論の言語として｛ε｝を用いる、ただしεは２変数関係記号である。体系の外で考えているとき、あるいは集合論のモデルで考えているときの、「本当の」要素関係∈と区別するためこの記号を使用する

とあり、言語記号としてのεと実際の要素関係を表す∈を区別しています、しかしこの区別はどういう意味があるのでしょうか。
記号そのものと、それが表現するものの違いだ、と一旦は分かった気になるのですが、さらに考えてみると本物の要素関係∈なるものも何らかの公理と推論規則、つまり形式体系で書かれるしかないのではないか？ならばそれも言語記号と違わないのでは？と堂々巡りになっていますのです。（この二つの記号はいつも同じ内容を表すとは限らないために区別しているのだ、と考えても両者とも結局包含関係を表す訳で・・・、二者の間に意味の違いがあるという状況を想像出来ないのです。）

また、
「体系の言語で記述される（内的な）無限降下列 とモデルでの無限降下列の区別」と
http://kurt.scitec.kobe-u.ac.jp/~fuchino/foundation.html　（渕野 昌先生）
にある文章においても（同じことだと思うのですが、）悩んでおり、その区別がいかなるものか分かっていません。

「本物の」要素関係なるものが記述はされないが存在する　などと言うことではないと感じるのですが・・・。
おそらくはじめの部分で勘違いをしていると思います、しかし、それがどういうものなのかはっきりしておらず苦しんでおります、この方面に明るい方助けていただければ幸いです。

回答No.1

noname#221368 · ベストアンサー

この方面に明るい訳ではないし、特に無限降下列の話なんて出てきた瞬間に逃げ出す方ですが・・・(^^;)。でもやっぱり、実例を見た方がイメージが湧くんじゃないか？、と思いまして。

　少し古いですが、例えばブルバキ数学原論の集合論の章の冒頭で、帰属関係∈は以下のように定義されます。

定義１．
　(∀z)((z∈x)　⇒　(z∈y))を、x⊂zと略記する。⊂を包含関係と呼ぶ。

　じつは帰属関係∈の定義はこれだけで、しかも直接∈を定義してる訳でもありません。つまり∈は無定義記号なんです。∈の運用法は⊂との関連で、間接的に決まります。定義部分で出てくる公理は、次の一つだけです。

A1（外延性の公理）．
　　(∀x)(∀y)((x⊂y)かつ(y⊂x)　⇒　x＝y)

　次に、「集合を作り得る関係」の説明が来ます。

　　(∃y)(∀x)(x∈y)　⇔　R)

を、Coll(x)(R)と略記する。Coll(x)(R)の形の関係式が（何らかの方法で）定理となった時、「Rはxについて集合を作り得る」という。この時、y＝τ(y)((∀x)(x∈y)　⇔　R))になるが（τ記号については、これより前に第一階述語論理の中で定義されます）、yを{x|R}で略記する。従って、

　　(∀x)(x∈{x|R})　⇔　R)

と書ける事になる。・・・てな具合です。

　こんなんでまともな事ができるんだろうか？(^^;)、と思う訳ですが、例えば次の2元集合の公理を導入すると、

A2（2元集合の公理）．
　　(∀x)(∀y)Coll(x)((z＝x)または(z＝y))

から、

定義２．
　集合{z|(z＝x)または(z＝y)}を、{x，y}と略記する。

が可能になり、「z∈{x，y}　⇔　(z＝x)または(z＝y)」は当然だ、などと話は続いて行きます。

　「数とは何かそして何であるべきか」や「ゲーデルと２０世紀の論理学　４」は良い本だと思いますが、本当に手に取るようにわかりたいなら、成書にトライすべきだと思います。

　私は成書を読み切れていないので、「手に取るように」はわかっておりません(^^;)。

お礼

回答していただきありがとうございます、遅くなってしまって本当に申し訳ありません。

包含関係は公理のなかで間接的に決まっていくわけですね、やはり集合論についてもっとしっかりと勉強する必要があると強く感じました。
もっと考えてみたいと思います。
回答ありがとうございました、参考にさせていただきます。