命題（論理の問題）

質問

以下の命題をどう考えればいいのか分からないので教えてください。

命題pを「晴れている」、命題qを「暖かい」、命題rを「散歩に行く」とする。

＜質問1＞
「晴れていて暖かければ、散歩に行く」
を記号で表すと、(p∧q)⇒rであってますか？

おじいさんは、"晴れていて暖かければ、必ず散歩に行く"とする。
以下の文章は論理的に正しいか？

(1)今日は晴れている。おじいさんが散歩に行かないのは、寒いからである。

(2)おじいさんは昨日散歩にいった。このことから昨日は暖かかったことが分かる。

(3)明日寒ければ、おじいさんは散歩に行かない。

＜質問2＞
(1)～(3)の考え方を教えてください。
自分にはどれも正しいとしか思えません。
どう考えると"論理的"だといえるのでしょうか？

以下、自分の考え
(1)…晴れてかつ暖かいのが条件なので正しい？
(2)…散歩に行ったということは、暖かかったということなので正しい？
(3)…暖かくないと散歩には行かないので正しい？

よろしくお願いします。

回答No.4

acacia7 · ベストアンサー

ちょいと手元の「記号論理学」を見つつ回答（笑
記号が違うのであれですが。
清水義夫著の記号論理学では「⊃」が「条件法」に使用されています。

で条件法とは「～ならば～」のことなので、質問の「⇒」と同義かなと思います。

では回答に。
まず回答がもうありますが、「(p∧q)⇒r」で表記は問題ありません。
でp,q,rはもちろん命題ですが、(p∧q)も、(p∧q)⇒rも命題です。
正確には論理式というべきかも。
＜命題を記号化したものが「論理式」
「→」は「推論」ですが、「⇒」は「条件法」であって、論理式の構成要素です。

(1)を論理式にあらわすと
((p∧q)⇒r)
　ここで(A⇒B)≡￢(A∧￢B)を利用して
→￢((p∧q)∧￢r)
→(￢(p∧q)∨r)　第一ドモルガンの法則
→((￢p∨￢q)∨r)　第二ドモルガンの法則
→((￢q∨￢p)∨r)　第二交換律
→(￢q∨(￢p∨r))　第二結合律
→(￢q∨￢(p∧￢r))
→(￢(p∧￢r)∨￢q)

ここで前提(p∧￢r)が真(t)であれば
→(f∨￢q)≡￢q
となり、「温かい」ではないことになります。

(2)
(1)の二行目からはじめると・・
「散歩に行った」つまりr=tですから。
￢((p∧q)∧￢r)→￢((p∧q)∧f)→￢f→t
ということで「散歩に行った」場合はどんな前提も真になるため
件の推論はできません。

(3)
「￢q」が真ですから、q=fということで
￢((p∧q)∧￢r)→￢((p∧f)∧￢r)→￢(f∧￢r)→￢f→t
ということで同様に推論できません。

なお、「条件法」は対偶が取れます。

お礼

回答ありがとうございます。
そうですか…。自分の中では論理式というとしっくりきます。
「≡」という記号は、論理の問題では初めて見ました。
「⇔」と同じ意味で「同値」といったところでしょうか。

ちょっと、謎が増えました…。
(f∨￢q)≡￢q
というのはどう見ればいいのでしょうか？
「偽またはqの否定⇔qの否定」でしょうか…。
命題でなくＴとかＦを論理式に混ぜるというのはどういうことですか？
「ｆ∨￢ｑ」が「￢ｑ」となるのであれば、「ｆ∧￢ｑ」はどうなりますか？

いろいろとすみません…。

回答No.5

acacia7

「≡」は「同値」でよいです。

f∨p≡p
f∧p≡f

t∨p≡t
t∧p≡p

fは恒に偽、tは恒に真です。
まさに「あたりまえ」を論理式で表したものです。

お礼

ありがとうございます。
そういうことを論理式でも表すことができるんですね！

回答No.3

coldplay

苦手な分野なのですが・・・

＞"晴れていて暖かければ、必ず散歩に行く"とする。

これは推論なので(p∧q)⇒rで合っていると思います。
一般的にA⇒BとはAが真ならば常にBが真となるということを表しています。
逆に言うと、Aが偽でもBが真となる場合があってもいいわけです。
この問題では、曇っててかつ寒くてもおじいさんは散歩をするかもしれません。
よって、(１)～（３）は正しいとはいえないのではないでしょうか。

＃１の方は「→」と「⇒」を混同しているように思われます。A⇒Bは命題ではないので対偶とかはとれません。

お礼

回答ありがとうございます。
質問1はあっていますか…。
「⇒：ならば」は常に右が成り立つということですね。

Aが偽でもBが真となる場合があってもいいというのは、
条件を満たしていなくても、それに対する結果は何であってもいいという感じでしょうか？

全て正しくないとお考えですか…。
行くか行かないかは気分次第と思われるので、そう考えられなくもないですね。
う～ん…難しいですね。

＞A⇒Bは命題ではない
命題はＡ、Ｂのそれぞれを指しているので、そうなんでしょうね。

回答No.2

sillywalk

一般的な論理学で→の真理表は

Ｐ　Ｑ　Ｐ→Ｑ
Ｔ　Ｔ　　Ｔ
Ｔ　Ｆ　　Ｆ
Ｆ　Ｔ　　Ｔ
Ｆ　Ｔ　　Ｔ

です。Ｐが真でありＱが偽の時には「ＰならばＱ」は偽になりますが、Ｐが偽の時は常に「ＰならばＱ」は真になります。つまり、「晴れれば散歩に行く」から「散歩に行ったから晴れていた」は導けません。日常の言語の条件文は通常このような意味を持たないので、日常言語を通して命題論理の条件文を理解しようとするとこの点でつまづきます。

問題の文では、「晴れている且つ暖かい」が偽であった場合、おじいさんは散歩に行っても行かなくてもいいわけです。従って(2)(3)は誤りです。

お礼

回答ありがとうございます。
なるほど…、そうですか…。

つまり、"晴れかつ暖かい"と必ず散歩に行くのであって、晴れていない、あるいは寒いと行かないわけではないということですね。
偽の時に行くかどうかは気分しだい？という感じですかね…。

回答No.1

nabla

(p∧q)⇒r
対偶とって
r~⇒(p∧q)~
つまり
r~⇒p~∨q~
よって
(p∧r~)⇒q~
つまり
「おじいさんが出かけないかつ晴れているならば寒い」
よって(1)は真

後も同様にやって下さい。

お礼

アドバイスをありがとうございます。
(1)は真ですね。
r~⇒p~∨q~
よって
(p∧r~)⇒q~
となるのが分かりません。