有限集合を無限に直積した集合の濃度は？

質問

有限集合Ａがあったとして、Ａ×Ａ×Ａ×・・・と加算無限回直積させたら濃度はどうなりますか？
直感では加算無限個になると思うのですが、証明する方法が思いつかないので教えてください
もし言葉や記号に間違いがあったら教えてください、補足します

回答No.3

noname#221368

Aが可算無限集合だったとして、Aの有限個nの直積の濃度α0^n（アレフ0のn乗）は、確かに可算無限になります。ここにα0（アレフ0）は、可算無限の濃度を表すとします。

　たぶんここから、個数nの有限集合Aの可算無限個の直積の濃度n^α0も可算無限だと直感的に感じたのだと思いますが、無限集合論は直感に反する世界だと思った方が安全です(^^;)。

　無限集合論の一般的定理として、集合Aの濃度（個数）をβとすれば、

　　β＜2^β　　　　　(1)

が成り立ちます（βが有限の場合も含めて）。2^βは、Aに含まれる全ての部分集合の数だからです。これも直感に反するのですが、2を任意有限のnに取り換えても同様に、

　　β＜2^β＝n^β　　　(2)

となります。

　例えばn＝10，β＝α0とすると、A^α0は、0～9の数字を動く可算無限個の窓を持つ、スロットルマシーンが表示する数値と同じだけの数があります。その窓の一番左の窓の隣に「0.」と印刷されてれば、そのスロットルマシーンが表示する数値のパターン全部は、0～1にある実数全てと同じだよね？、という発想です。

　実数の集合Rの濃度をc（連続無限）とすれば、集合としての実数区間[0，1]の濃度を|[0，1]|として、

　　|[0，1]|＝c　　　　(3)

がやはり無限集合論から導かれます。(1)，(2)，(3)をあわせれば、有限集合Aの濃度を|A|＝n（n≠1）として、

　　α0＜|A^α0|＝n^α0＝2^α0＝c

が連続無限濃度の集合論における「定義」になります。

お礼

2^Ａがべき集合だとは聞いたことがあるのですが、指数のように扱えるのは目からうろこでした
無限には常識が通じないこととともに肝に銘じておきます
回答ありがとうございました

回答No.2

nakaken88

Aの元が1個しかなければ、直積も元は1個ですよね。

2個以上あれば、例えば10個のときを考えると、直積の元と0から1までの実数は1対1に対応するので、回答No1さんの言うとおり、濃度は実数の濃度と同じになります。

お礼

Ａの元が1個の場合を忘れていました
回答ありがとうございます

回答No.1

akinomyoga

有限集合の元の数を |A| とすると、A×A×… の元は、[0,1) の実数の |A| 進法表示
　0 . a1 a2 … aN …
と1対1に対応付けられるので A×A×… の濃度は実数 [0,1) と同じ א だと思うのですが…。

> もし言葉や記号に間違いがあったら

ただの変換間違いとは思いますが「加算無限」ではなくて「可算無限」です。

お礼

仰るとおり可算の間違いです
回答も含めありがとうございます