幾何学の行列による鏡映の問題を教えて下さい

質問

問題：2×2の行列
(cosθ sinθ)
(sinθ　-cosθ)
はどのような直線に関する鏡映かを答えなさい
という問題です。分かる方、どうかお願いします

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

直線Ｌ：y=mx+dに関する 点Ｐ(p,q)の鏡像をP'(p',q')とすると

直線ＰＰ’＝Ｌ’の方程式：y-q=(-1/m)(x-p), Ｐ’はこの直線状にあることから

q'-q=(-1/m)(p'-p) (1)

PP'の中点((p+p')/2,(q+q')/2)はＬ上にあることから

(q+q')/2=m(p+p')/2+d

q+q'=m(p+p')+2d (2)

(1),(2)をp',q'について解くと

p'=[(1-m^2)p+2qm-2dm]/(m^2+1) (3)

q'=[(2mp-(1-m^1)p+2d]/(m^2+1) (4)

直線と2点ＰＰ’の関係は直線が原点を通るように平行移動しても変わらない。よって以下の検討においては

d=0　　　　 (5)

とする。

Lとx軸とのなす角をtとすると

m=tant (6)

2m/(m^2+1)=2sintcost=sin2t (7)

(1-m^2)/(1+m^2)=cos^2t-sin^2t=cos2t (8)

(5)~(8)を(3),(4)へ代入すると

p'=pcos2t+qsin2t

q'=psin2t-qcos2t

行列表示すると

(p') (cos2t sin2t) (p)
=　　　　　　　　　　　　　　　　(9)
(q') (sin2t -cos2t) (q)

問題の行列を見ると(9)の係数行列において

2t=θ, (10)

としたものであることが解る。したがって問題の行列は

直線　：ｙ=xtan(θ/2)　　　　　　　　　　(11)

に関する鏡映である。

お礼

有難うございます。
本当に助かります