数学C 行列による座標平面上の点の移動の問題

質問

２行２列の行列Aが　A2乗＝－A　という等式を満たしている。
行列Aによる点の移動をFとすると、
Fによって座標上のすべての点がある直線L上に移される。
点(1,1)は点(1,2)に移されるものとする。

問１　直線Lの方程式と行列Aを求めよ。
問２　Fによって点(cosθ,sinθ)は直線Lのどの部分に移されるか。

理系の方で数学Cのわかる方、どうかご回答お願いします。

回答No.10

stomachman · ベストアンサー

以下では、縦ベクトルを書くのがしんどいので、横ベクトルxの転置を x' と書く事にします。
　　A(1,1)' = (1,2)'
　　A(0,0)' = (0,0)'
が分かっているから、直線Lは(0,0)と(1,2)を通る。なので、Lの方程式は
　　y = 2x
と決まります。従ってAの第2行は第1行の2倍、つまりAの成分は
　　a　　b
　　2a　2b
と書けます。
　さて、A^2=-Aよりa,bは
　　a^2+2ab = -a
　　ab+2b^2 = -b
を満たす。
[1] a=0, b=0の場合はA(1,1)' ≠ (1,2)'だから不適。
[2] a=0, b≠0の場合
　　b = -1/2
なので、A(1,1)' ≠ (1,2)' となっちゃって不適。
[3] a≠0, b=0の場合
　　a = -1
なので、A(1,1)' ≠ (1,2)' だからこれも不適。
[4] a≠0, b≠0の場合
　　a+2b = -1
なのでAは
　　-1-2b　b
　　-2-4b　2b
ですが、
　　A(1,1)'= (-1-b, 2(-1-b))' = (1,2)'
を満たすbは
　　b=-2
だけ。
　かくて、Aは
　　3　-2
　　6　-4
と一意的に決まります。

　問2の「どの部分」というよく分からん文言は、多分「実数を定義域とするベクトル関数 A(cosθ, sinθ)' の値域を求む」という意味でしょう。
　　u(θ) = 3cosθ-2sinθ
とすると、
　　A(cosθ, sinθ)' = (u(θ), 2u(θ))'
と書けるから、u(θ) の値域が分かりさえすれば答が出せます。公式を知っていれば瞬殺。知らなければ加法定理を使って
　　u(θ) = k (cosφ cosθ - sinφ sinθ) = k cos(θ+φ)
　　k cosφ = 3, k sinφ = 2
と書き換えれば、(-k, -2k)と(k, 2k)を両端とする線分がその「部分」であると分かり、そして、
　　(cosφ)^2 + (sinφ)^2 = 1
からkを計算します。もちろんφを計算する必要はありません。

回答No.9

178-tall

>アッ、タイムアップ…。

…の続編。

　X = 3cosθ-2sinθ
　Y = 2X
…なる直線上の座標だった。

　X = 3cosθ-2sinθ = √(13) sin(φ-θ)　　: φ= arctan(3/2)
だろうから、θをスキャンすれば、その直線上にて [X ; Y=2X } は [±√(13) ; ±2*√(13) ] の間を往復。
…なのかな？

回答No.8

178-tall

>点(1,1)は点(1,2)に移されるものとする。
>…
>問２　Fによって点(cosθ,sinθ)は直線Lのどの部分に移されるか。
　　↑
ワンポイントのθの写し先じゃなく、θを 0 から 2πまでスキャンせねばならぬらしい。
けっこう、メンドイ。

>　A = [a　　　　　　b ;
>　　　 -a(a+1)/b　 -(a+1) ]　　　…(0)
　　　↓
…を適用すると、点 (1,1) を点 (1,2) に写すには、a=3, b=-2　つまり、
　A = [3　-2 ;
　　　 6　-4 ]　　　…(1)
これは、点 [cosθ ;　sinθ] を [3cosθ-2sinθ ;　6cosθ-4sinθ] へ写す。

あ、タイムアップ…。

回答No.7

178-tall

>A が非正則なら？
>A = [a　b ;
>　　 c　d ]
>にて、ad-bc=0 が成立つ。
>…
>(導出してみて…)

「導出」の一例でも…。

「A が非正則なら」 A の第 2 行は第 1 行の定数 (k) 倍。
　A = [a　　b ;
　　　 ka　 kb ]　　　…(0)
(a, b の少なくとも一方は非零)

題意により、A(A+1) = 0 。
　A(A+1)
　= [ a(1+a+kb)　b(1+a+kb) ;
　　 ka(1+a+kb)　kb(1+a+kb) ]
これが零行列だというから、1+a+kb = 0, つまり k= -(a+1)/b なのだろう。

(0) に入れてみると、
　A = [a　　　　　　b ;
　　　-a(a+1)/b　 -(a+1) ]　　　…(0)

a=1 の例が、
A = [1　 　b ;
　　-2/b　-2 ]　　　…(1)
なのでした。

回答No.6

178-tall

>ANo.5

書き忘れの蛇足。

>A が非正則なら？
>A = [a　b ;
>　　 c　d ]
>にて、ad-bc=0 が成立つ。
>a = 1 と「規準化 (normalize) 」すれば、
…

a = 0 の場合、実数範囲にて解なし。

回答No.5

178-tall

A は 2x2 なので力づくで…。

A が正則なら？
　A^2 = -A → A = -E
-E は「座標上のすべての点」の正負を反転させるだけ。
よって、このケースは度外視可。

A が非正則なら？
A = [a　b ;
　　 c　d ]
にて、ad-bc=0 が成立つ。
a = 1 と「規準化 (normalize) 」すれば、
A = [1　 　b ;
　　-2/b　-2 ]　　　…(1)
の形が A^2 = -A を満たしている。
(導出してみて…)
A*[x ; y] = [x+by ; -2x/b - 2y ] = [X ; Y ]
となり、Y = -(2/b)*X が成立。(これが直線 L ？)

題意は、A*[1 ; 1] = [1 ; 2] 。
(1) を使えば
　A*[1 ; 1] = [1+b ; -(2/b)-2 ]
題意を満たすには、-(2/b)-2 = 2*(1+b) の必要あり。
つまり、b = -1 。

問１ や 問 2 の残務はお任せ、としましょう…。

回答No.4

NemurinekoNya

こんばんはです。

「Fによって座標上のすべての点がある直線L上に移される。」
と問題にありますので、
Fの行列式の値はゼロになります。
───ゼロでないならば、逆行列が存在します。すると、1対1対応になってしまう！！───

　A^2 = (a+d)A = -A
　(a+d-1)A = O
Aは(1,1)を(1,2)に移動させるので、
　A ≒ O
よって、
　a+d = 1
　ad-bc = 0
となります。

回答No.3

naniwacchi

こんばんわ。
この時期に 2次試験対策はしない方が（センタ対策にした方が）よいとも思いますが。

#2さんが、A^2＝ -Aの関係から「ケーリー・ハミルトンの定理」を用いて
a+ dと ad- bcの関係式を導き出してくれています。
が、これでは不十分です。

というのは、ケーリー・ハミルトンの定理は「逆が成り立たない」からです。
A＝(a, b; c, d)ならば A^2- (a+ d)A+ (ad- bc)＝ Oである。は成立しますが、
その逆は必ずしもいえません。

手っ取り早い調べ方は、A^2+ A＝ Oの式と辺々差し引いてみることです。
すると、
　(a+ d+ 1)A＝ (ad- bc)E

という式が得られます。
あとは、両辺を割ればいいのですが、割るためには条件が必要です。
a+ d+ 1＝ 0のときと a+ d+ 1≠ 0のときとで場合分けになります。
これは A^2＝ -Aの成分を比較した関係式からでも出てくる場合分けです。

いまの問題では、「点(1,1)は点(1,2)に移されるものとする。」の条件により
片方の場合分けは不適となります。

直線：Lについては、推測を立ててそれが正しいことを示すのが早いと思います。
（直線の方程式を置いてから導き出すこともできますが、ちょっと面倒）

回答No.2

NemurinekoNya

ただの計算問題だと思うんですけれど・・・。
行列Aの一行目を[a b]、二行を[c d]とします。
平面が直線Lに移るというのですから、Aの行列値 =ad-bc = 0
さらに、A^2 = -A
なのだから、
　a+d = 1
　ad-bc = 0
Aによって、点(1,1)が(1,2)になるというのですから、
ここから、二つ等式が出てきて、
連立方程式は解ける！！

原点OはAによって、Oに移る。
(1,1)は(1,2)だというのですから、
直線Lはy=2x
になります。

（２）は、行列Aが求まれば、解けるはず。
ガンバレ！！

回答No.1

Tacosan

最初から考えるつもりがないのならともかく, ちょっとでも考えたというなら「どこまでわかってなにがわからないのか」くらいは書けるはず.