数学の行列の問題を教えて下さい

質問

Aを下の2×2行列とする
(cos2θ sin2θ)
(sin2θ -cos2θ)
Aはどのような直線に関する鏡映(=裏返し)であるか述べなさい。

という問題です。
わからず困っています。皆さん、お願いいたします

回答No.1

tetra_o · ベストアンサー

回答させていただきます。こちらのページをあわせてご覧ください -> http://art49.photozou.jp/pub/733/3028733/photo/223200144_org.v1432406041.png

xy平面上において、求める直線がx軸となす角度をφとし、任意の点(x,y)をこれに対し反転させることを考えます。すると、この直線に対する鏡映は次の3ステップに分けて考えられます。

(1)点と直線を一度-φ回転させる
(2)点をx軸に関して対称移動させる
(3) (2)で得られた点と直線をφ回転させる

このそれぞれに対応する行列は先のページに示すとおりで、これらの積と行列Aが等しいことから、nを整数として、2θ=2φ+2nπ 辺々2で割ってθ=φ+nπ よって、φ=θ-nπですが、ここで-nをnとおきなおせば、

φ=θ+nπ

となります。結局のところこれの意味する所は、二次元ではx軸と角度θをなす直線に対して鏡映操作が行われるということになります(θ+nπはnの値によらず、単一の直線を表します)

纏めますと、答えは、「xy平面上において、x軸と角度θをなす直線」となります。

お礼

助かりました。
図も書いていただき、ものすごく分かりやすかったです。
理解できました。
有難うございます