高校数学の行列の問題です、再質問の問題です

質問

平面上の1次変換fが直交するベクトルの組をつねに直交するベクトルの組に移すとき、↑0でない任意のベクトル↑aに対して|f(↑a)|/|↑a|が

一定値1である1次変換は、原点からの距離を常に不変に保つ1次変換である　これは原点のまわりの回転と原点を通る直線に関する対称移動からなる合同変換であることを証明しなさい

解説:ｆを(p,q,r,s)とする　直交する任意の2ベクトル(x,y),)(-y,x)のfによる像(p,q,r,s)(x,y)=(px+qy,rx+sy),(p,q,r,s)(-y,x)=(-py+qx,-ry+sx)が常に直交する条件は(px+qy)(-py+qx)+(rx+sy)(-ry+sx)=0

すなわち(pq+rx)x^2+(-p^2+q^2-r^2+s^2)xy-(pq+rs)y^2=0が任意の実数x,yに対して成り立つことである(1)　よってpq+rs=0かつp^2+r^2=q^2+s^2　この時、任意のベクトル↑a=(x,y)≠0に対して

|f(↑a)|^2=(px+qy)^2+(rx+sy)^2=(p^2+r^2)x^2+2(pq+rs)xy+(q^2+s^2)y^2

=(p^2+r^2)|↑a|^2 よって|f(↑a)|/|↑a|=√(p^2+r^2=1、(1)から(p,r)と(q,s)は直交する単位ベクトルである　よって実数θ(0<=θ<2π)を用いて　(p,q)=(cosθ,sinθ),(q,s)=(cos(θ±π/2),sin(θ±π/2))

=(-+sinθ、±cosθ)(前のsinの－+は－が上で+が下、復号同順)

と表せる　よって(p,q,r,s)=(cosθ,-sinθ,sinθ,cosθ)(原点を中心とする角θの回転) (cosθ、sinθ,sinθ,-cosθ)(直線xsinθ/2=ycosθ/2に関する対称移動)

(cosθ,-sinθ,sinθ,cosθ)(原点を中心とする角θの回転)の方は分かったのですが(直線xsinθ/2=ycosθ/2に関する対称移動)の方が何故そうなるのか分からないです
と質問したら
行列 A=(cosθ, sinθ, sinθ, -cosθ)と定義した段階で、対称移動させる直線は、直線Lとなります。直線L: xsin(θ/2) = ycos(θ/2) のことです。

と教えてもらったのですが、何故A=(cosθ, sinθ, sinθ, -cosθ)と定義した段階で、対称移動させる直線は、直線Lとなるのか分かりません、自分でも考えましたが、分からなかったので、是非ともよろしくお願いします

回答No.11

Tacosan

あ～, うん, あなたが「対称移動」について何もわかっていないことだけはわかった.

たぶん現状だと「考える」とかいう以前の状態だから, きちんと理解できるまで調べた方がいいと思うよ.

お礼

御返答ありがとうございます、メールが来て質問の締め切りみたいなので又対称移動が分かったら質問するかもしれないですが、その時はよろしくお願いします

回答No.10

Tacosan

「Xは２X-X,Yは2y-Yに移ります」とはどういう意味ですか?

なにをどうしたらそうなったのですか?

2X-X は X ではないのですか? 2y-Y の y って, いったいどこから出てきたのですか?

お礼

御返答ありがとうございます

補足

移動先の点を(x',y')とおくと(x'+X)/2=x,(y'+Y)/2=yとして

x',y'を出しました

回答No.9

Tacosan

再確認だけど
直線 y = 3x+6 に関する対称移動によって, 任意の点P(X, Y) がどこに移るか
はわかりますか?

お礼

御返答ありがとうございます

補足

用事で返答が遅れて申し訳ないです、Xは２X-X,Yは2y-Yに移ります

回答No.8

Tacosan

#7 への補足で書いている「Xが出れば変形すればY=の形に出来そうですが」の X とか Y って, なんですか?

#6 に対して「いえ、違いますね、座標と直線を書けばすぐわかりますね」と書いているんだよね. その「すぐわかる」の根拠はなんですか? 少なくとも, あなたが #5 に対して書いた「線分PQの中点のx,y座標をそれぞれX,Yとおいて(Pのx座標+Qのx座標)/2=X,(Pのy座標+Qのy座標)/2=YとおいてY=○X+bの形に持っていきます」はできるはずでしょ?

#4 で「ある直線に関する対称移動」について聞いたときに, 「x軸に対称」とか「y軸に関して対称」とかは書いてるね. じゃあ, それ以外の (もちろん x軸にも y軸にも平行ではない) 直線に関する対称移動とは, どういうものでしょうか? 例えば直線 y = 3x+6 に関する対称移動によって, 任意の点P(X, Y) はどのような点に移りますか?

お礼

御返答ありがとうございます

補足

>「Xが出れば変形すればY=の形に出来そうですが」の X と
>か Y って, なんですか?
(Pのx座標+Qのx座標)/2=Xで例えば1/2=X、Y=1/4とかと出てきたらY=X^2とかにするって事ですYの式にXを代入出来るようにするということです

回答No.7

Tacosan

つまり, #5 への補足にある
「線分PQの中点のx,y座標をそれぞれX,Yとおいて(Pのx座標+Qのx座標)/2=X,(Pのy座標+Qのy座標)/2=YとおいてY=○X+bの形に持っていきます」
では不足している「何か」があるってことだ.

その「何か」は, なんだと思う?

そして, なぜわざわざこんなことを確認しているか, その意図は理解できてる?

お礼

御返答ありがとうございます

補足

>その「何か」は, なんだと思う?
考えたのですが、分からないです、Xが出れば変形すればY=の形に出来そうですが、駄目ですか

>そして, なぜわざわざこんなことを確認しているか, その
>意図は理解できてる?
(cosθ, sinθ, sinθ, -cosθ)が直線の対称と関係していることを示すためですか？

回答No.6

Tacosan

半分正解だが半分間違い.

2点 (1, 0), Q(-1, 0) は直線 y = 2x に関して対称か?

お礼

御返答ありがとうございます

補足

いえ、違いますね、座標と直線を書けばすぐわかりますね

回答No.5

Tacosan

では
2つ点 P, Q がある直線に関して対称であると仮定したとき, その直線を求めよ
という問題だったらできる?

お礼

御返答ありがとうございます

補足

線分PQの中点のx,y座標をそれぞれX,Yとおいて(Pのx座標+Qのx座標)/2=X,(Pのy座標+Qのy座標)/2=YとおいてY=○X+bの形に持っていきます

回答No.4

Tacosan

「ある直線に関する対称移動」ってどういうものかわかりますか?

てきとうな写像が「ある直線に関する対称移動」であることを示すには, なにをいえばいいと思いますか?

お礼

御返答ありがとうございます

補足

>「ある直線に関する対称移動」ってどういうものかわかりま>すか?
例えばx軸に対称だったらyの値が正負反対になになりますが値は同じになります、y軸に関して対称だったらyの値は同じになりますがxの値が正負反対になります

>写像が「ある直線に関する対称移動」であることを示すに
>は, なにをいえばいいと思いますか?
写像に関しては分からないです

回答No.3

Tacosan

それは, 計算すればわかります.

お礼

御返答ありがとうございます

補足

計算というのは(cosθ, sinθ, sinθ, -cosθ)を何かに代入したりするんですか？バカバカしい質問だったら申し訳ないです、本当に分からないのです

回答No.2

Tacosan

本当はダメなんだけど, この問題に関していえば
(cosθ, sinθ, sinθ, -cosθ) が「直線に関する対称移動」でなければならない
ことはあきらかで, 「この行列だけを見て対称移動を表すかどうかは分からない」ことはどうでもいい.

そして, これが「ある直線に関する対称移動をあらわさなければならない」と思えば, それを示しにいくだけ. で結果的に「ある直線に関する対称移動をあらわす」ことがいえればそれでいい.

お礼

御返答ありがとうございます

補足

>「直線に関する対称移動」でなければならない
>ことはあきらかで
>これが「ある直線に関する対称移動をあらわさなければなら>ない」と思えば, それを示しにいくだけ
分かりました、では A=(cosθ, sinθ, sinθ, -cosθ)と定義した段階で、対称移動させる直線は、直線Lとなります。直線L: xsin(θ/2) = ycos(θ/2) のことですと教えてもらったんですが、

何故A=(cosθ, sinθ, sinθ, -cosθ)と定義した段階で直線Lがxsin(θ/2) = ycos(θ/2) となるのか教えてください