数A 二平面のなす角

質問

「直方体ABCD-EFGHにおいて、平面ABCと平面BDGのなす角θ(0°≦θ≦90°)を求めよ。AB,AD＝√2、BF＝1」という問題があるのですが、このような問題の場合、平面ABCとしてあっても、平面ABCDの平面の四角形として考えるのが一般的だと思うのですが、この問題の平面BDGで同じように考えたら直方体の外にはみ出してしまいます。この場合は自分で点を作って(例えば点I)おいてみるのがいいのでしょうか。
しかし、わたしは図から読み取れる範囲で求めてみました。まず△CDGを取り出して考え、直線DGは余弦定理により3－2√2となり、cos∠CDGは余弦定理により6√2分の18となりました。この問題はこんなに複雑な答えになるのでしょうか。

初めての質問で分かりにくいと思いますが、大変困っています。力を貸していただけたら嬉しいです。宜しくお願いします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

問題文のなかに
＞AB,AD＝√2、BF＝1
とありますが
AB=AD＝√2、BF＝1
の意味ですか？
そうなら
>△CDGを取り出して考え、直線DGは余弦定理により3－2√2となり、cos∠CDGは余弦定理により6√2分の18となりました。
この△CDGは「直方体ABCD-EFGH」から「CD=√2, CG=1」である直角三角形とわかりますね。3平方の定理から線分（直線ではない。）DG=√3だとすぐわかるでしょう。
>直線DGは余弦定理により3－2√2
これは間違い。∠DCG=90°なのでcos∠DCG=0であるべきところをcos∠DCG=1としているようです。単純ミスですね。また線分CDは3平方の定理ではDG^2=…なので平方根をとらないといけません。つまり2重のミスをしているようです。
なのでcos∠CDGは
>cos∠CDGは余弦定理により6√2分の18
これは間違いで、正しくは直角三角形の辺の比から
cos∠CDG=CD/DG=√2/√3=√6/3となります。

>平面ABCとしてあっても、平面ABCDの平面の四角形として考えるのが一般的だと思うのですが、この問題の平面BDGで同じように考えたら直方体の外にはみ出してしまいます。この場合は自分で点を作って(例えば点I)おいてみるのがいいのでしょうか。

あなたの考え方でもなんら問題ありません。つまり点Iをとって考えてもいいですよ。
3点を通る平面は１つしか存在しませんから、点Iが直方体の外にはみ出しても大丈夫です。

解の例
直角△BCD, 直角△BCG≡直角△CDGに3平方の定理を適用してBD=4, BG=DG=√3
△BGDの辺BDの中点をM、点Cから平面BDGに降ろした垂線の足をKとすると
平面ABCと平面BDGのなす角θは、それぞれの平面に垂直な直線（つまり法線）CDとCKのなす角つまり∠GCKに等しい。
△CMGは,直角三角形で、CM=CG=1であるから、3平方定理より
MG=√2

直角△GCK∽直角△MGCより∠GCK=∠GMCなので
cosθ=cos∠GCK=CM/MG=1/√2
0°≦θ≦90°より
∴θ=45°　...(答)

と求まります。

おわかり？

お礼

丁寧でとても分かりやすい回答ありがとうございました！！
朝起きてすぐにお礼を返そうと思ったのですが、雨風が酷く月の頭だというのに電波が悪かったので今になりました！本当にありがとうございました！

回答No.2

yyssaa

＞直方体の上面がABCD下面がEFGHなら、平面ABC(=平面ABCD)と
平面BDGとの交線は直線BDであり、BDとACの交点をOとすると、
θ=∠COGになる。
三平方の定理によりCO=(1/2)CA=(1/2)√(AB^2+BC^2)=(1/2)√(AB^2+BC^2)
=(1/2)√(AB^2+AD^2)=(1/2)√(2+2)=1
CG=BF=1、∠OCG=90°だから△COGはCO=CGの直角二等辺三角形になる。
よって、三角形の内角の和180°よりθ=∠COG=(180-90)/2=45°・・・答

お礼

なるほど！そのようにして求める方法もあるのですね！ありがとうございました！