中学数学の図形問題

質問

以下の問題の解き方が分かりません…
どのように解けばいいのでしょうか？？

図のような直方体ABCD－EFGHがあります。
2点をA、Gを通る平面で切ったところ、切り口の面APGQはひしがたになりました。
次の各問に答えなさい。

（１）線分BPの長さを求めなさい。

（２）ひしがたの頂点Pから辺GQに垂線PIを引く時、垂線PIの長さを求めなさい。

回答No.2

nattocurry · ベストアンサー

ひし形なので、すべての辺が同じ長さ。
AP=PG
AP^2=PG^2

AP^2=AB^2+BP^2
=6^2+BP^2
=36+BP^2

PG^2=FP^2+FG^2
=(FB-BP)^2+FG^2
=(9-BP)^2+3^2
=BP^2-18BP+81+9
=BP^2-18BP+90

36+BP^2=BP^2-18BP+90
18BP=54
BP=3

AP^2=AB^2+BP^2=6^2+3^2=36+9=45
AP=√45
PG=GQ=AQ=AP=√45=3√5

HQ=BP=3
DQ=HD-HQ=9-3=6

PQ^2=AB^2P+AD^2+(QD-PB)^2
=6^2+3^2+3^2=36+9+9=54
PQ=√54=3√6

AG^2=AB^2+BC^2+CG^2
=6^2+3^2+9^2=36+9+81=126
AG=√126=3√14

□APGQ=AG×PQ÷2=AP×PI
3√14×3√6÷2=3√5×PI
3√7×√2×3√3×√2÷2=3√5×PI
9√21=3√5×PI
PI=3√21÷√5
PI=3√21×√5÷(√5×√5)
PI=3√105／5

お礼

回答ありがとうございます。とても助かりました。

回答No.3

himajin100000

はい、俺、間違えまくりでしたね、BP * PIをやってどーするorz GQ * PIで#2と一緒だよ..はぁorz

お礼

回答ありがとうございます。とても助かりました。

回答No.1

himajin100000

(1)
仮定から
AB = 6

PからCGに垂線を引き、CGとの交点をRとする。
GR = GC - RC = GC - BP = 9 - BP
PR = 3
三平方の定理を二つの直角三角形⊿ABPと⊿PRGに適用する。

AB^2 + BP^2 = AP^2
PR^2 + GR^2 = PG^2

ここでAPGQは菱形だから
AP = PGで
AP^2 = PG^2

以上から

AB^2 + BP^2 = PR^2 + GR^2
6^2 + BP^2 = 3^2 + (9 - BP)^2
36 + BP^2 = 9 + 81 - 18 * BP + BP^2
18 * BP = 54
BP = 3[cm]

(2)

PからQDに垂線下ろし、QDとの交点をSとする。
SP^2 = EH^2 + EF^2 = BC^2 + AB^2 = 3^2 + 6^2 = 45
PQ^2 = SP^2 + SQ^2 = SP^2 + (FP - HQ)^2 = SP^2 + 3^2 = 45 + 9 = 54

AG^2 = AC^2 + CG^2 = (AB^2 + BC^2) + CG^2 = 45 + 9^2 = 126

菱形の面積は
対角線の長さの積の半分で求められるから、

1/2 * √(AG^2 * PQ^2) = 1/2 * √(126 * 54) = 18 * √(21)

ところで、菱形の面積は
⊿QPG二つ分、とも言える。
⊿QPGの面積をSとすると
S = GQ * PI * 1/2
よって菱形の面積は
GQ * PI = BP * PI = 3 * PI

よって

18 * √(21) = 3 * PI
以上から

PI = 6 * √(21)

計算どっか間違ってるかも