平面図形（解答がわかりません）

質問

正三角形ABCの内部にある点をPとする。PA=1,PB=2,∠APB=120°のとき、PC=( )である。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（早稲田大）

解答

　△ABPに余弦定理を用いると
　AB²＝PA²＋PB²-2PA・PBcos∠APB
＝1²　＋2²　－2・1・2・（-1/2)
＝7

　∴AB＝√7
　ここで、APの延長と辺BCの交点をDとすると
　　∠ABD=∠BPD=60°
　　∠BDA=∠PDB
　　より、△ABD∽△BPDであり、BD=x、　PD=ｙとおくと
　　　　BD : PD = DA : DB = AB : BP←

　　　∴　x　：　y　＝(y＋１)　：　x　＝　√７　：　２

であるから
　　　　２x　＝　√７y
　　　　２（y　＋　１）＝√７x

　　∴　x　＝　2√7/3 , y＝　4/3

　これより、△BPDに余弦定理を用いると
　　cos∠PBD = BP²　＋BD² - PD² / 2BD・BD
= 2²　＋　（2√7/3)²　- (4/3)²　　/ ２・２・２√７/３
　　　　　　　　　=　2√7 / 7

そして△ABCは正三角形なので
　　　BC=　AB ＝√７
　であるから、△BCPに余弦定理を用いると
　PC²　＝　BP²　+　BC²　－　２BP・BCcos∠PBC
　　　　＝　２²　+　（√７）²　－　２・２・√７・２√７/７
　　　　＝　３

　　　∴PC=３

　解答9行目のAB : BPの意味がわかりません。なぜこうなるのですか？
　解説よろしくお願いします。

回答No.1

j-mayol · ベストアンサー

△ABD∽△BPD
から対応する辺の比が等しいためという説明では駄目ですか？

お礼

落ち着いて考えるべきですね。ほんとお恥ずかしいです。ありがとうございました。