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図形の問題に関する質問
- 直方体ABCD－EFGHの属性と三角形ACHの性質について
- 点Iを通る円と線分AHの交点J、および四角形CHJIの性質について
- 四角錐D-CHJIの体積について
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三角形ＡＣＨと３点Ｃ，Ｈ，Ｉを通る円を描いてみるといいです。 （１）△ＡＩＪと△ＡＨＣは相似になります。 四角形ＣＨＪＩは、円に内接する四角形なので、角ＡＪＩと角ＡＨＣ（角ＪＨＣ）は等しくなります。 角ＡＪＩ＝角ＡＨＣ、角Ａは両方に共通なので，２つの角が等しいから相似です。 対応する辺の比は等しいので、ＡＪ：ＡＣ＝ＡＩ：ＡＨ→ＡＪ：１２＝４：８からＡＪ＝６が求まります。 （２）四角形ＣＨＪＩの面積は、△ＣＩＪと△ＪＩＨに分けて求めます。 △ＡＨＣと△ＣＩＪは高さが同じで、ＡＩ＝４から 底辺の比がＡＣ：ＩＣ＝１２：８＝３；２だから 面積は △ＣＩＪ＝△ＡＨＣ×２／３＝１５ルート７×（２／３） から求められます。 △ＡＪＨ＝△ＡＨＣ×（１／３）＝１５ルート７×（１／３） を求めておきます。これは △ＪＩＨと高さが同じで、底ＡＪ＝６から 辺の比がＪＨ：ＡＨ＝２：８＝１：４だから 面積は △ＪＩＨ＝△ＡＪＨ×（１／４） から よって、四角形ＣＨＪＩの面積は、△ＣＩＪ＋△ＪＩＨ です。 （３）直方体の体積は、ＡＢ×ＡＤ×ＡＥ （４）Ｄ－ＣＨＪＩの体積を求めますが、これは、 Ｄ－ＡＣＨの体積と△ＡＨＣと四角形ＣＨＪＩの面積の比から求めます。 Ｄ－ＣＨＪＩとＤ－ＡＨＣは高さが同じ立体だからです。 Ｄ－ＡＨＣの体積を求めます。 底面を例えば△ＡＨＤと見ると、その高さはＣＤとみなせるので （１／３）×ＡＤ×ＤＨ×（１／２）×ＣＤ △ＡＨＣと四角形ＣＨＪＩの面積の比は、４：３ になります。 だから Ｄ－ＣＨＪＩの体積は、Ｄ－ＡＨＣの体積×（３／４） （５）最後に Ｄ－ＣＨＪＩの体積／直方体の体積 から何倍かが求められます。
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- ferien
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No２の補足と別解です。 （２）四角形CHJIの面積は △ＡＩＪと△ＡＨＣが相似であることから求められます。 対応する辺の比がＡＩ：ＡＨ＝４：８＝１：２なので、それらの面積の比は１＾2：２＾2＝１：４になります。 これから四角形ＣＨＪＩ：△ＡＨＣの面積比は、３：４になります。 よって、四角形ＣＨＪＩの面積＝△ＡＨＣの面積×（３／４）です。 （４） >Ｄ－ＣＨＪＩの体積を求めますが、これは、 > >Ｄ－ＣＨＪＩの体積と△ＡＨＣと四角形ＣＨＪＩの面積の比（３：４）から求めます。 >Ｄ－ＣＨＪＩとＤ－ＡＨＣは高さが同じ立体だからです。 これは、△ＡＨＣと四角形ＣＨＪＩを底面と見た場合、高さが同じと言う意味です。 このことから、Ｄ－ＣＨＪＩとＤ－ＡＨＣの体積の比も３：４になります。 実際にＤ－ＡＨＣの体積を求めるときは、考えやすいように図の見方を変えればいいのですが、 ここでは、何倍かが分かればいいので計算する必要もないみたいです。 直方体の体積は、たて×よこ×高さ Ｄ－ＡＨＣの体積は、、 底面を例えば△ＡＨＤと見ると、たてＡＨ よこＤＨ その高さはＣＤとみなせるので （１／３）×たて×よこ×（１／２）×高さ＝１／６×たて×よこ×高さ これから、Ｄ－ＡＨＣの体積＝１／６×直方体の体積 Ｄ－ＣＨＪＩとＤ－ＡＨＣの体積の比は３：４だから、 Ｄ－ＣＨＪＩの体積＝Ｄ－ＡＨＣの体積×（３／４）＝１／６×直方体の体積×（３／４） これから、Ｄ－ＣＨＪＩの体積が、直方体の体積の体積の何倍かが求められます。
- ferien
- ベストアンサー率64% (697/1085)
済みません、訂正があります。 （１）角ＡＪＩのところ、角ＡＩＪでした。角ＡＩＪ＝角ＡＨＣです。 肝心な図の説明のところなのに、申し訳ありません。
- Har-mo-nize
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AJの長さは方冪の定理を使うと簡単です。 AJ・AH=AI・AC 四角形CHJIの面積は、△ACHの面積が求められていますので△AJIの面積を求めれば分かります。 ここから四角形CHJIの面積は△ACHの面積の3/4倍であることが分かります。 ・・・・☆ 三角錐D-ACHの体積は、直方体ABCD-EFGHの1/2×1/3倍。 ☆から四角錐D-CHJIの体積は、三角錐D-ACHの体積の3/4倍。 あとは分かりますよね。
お礼
方べきの定理の復習になりました!! ありがとうございました!!
お礼
丁寧な解答、ありがとうございました!! 補足も参考にさせていただきました!!