三角形の辺と角 正弦、余弦

質問

こんにちは。数Iの正弦定理、余弦定理の問題です。

a=√2、B=45°、C=105° の三角形ABCの残りの辺の長さと角の大きさを求めなさい。

A=30°、b=2
これらはちゃんとできました。
でも、cの計算をするとき、疑問があります。

bについての余弦定理で解くと、
2^2=(√2)^2+c^2-2×√2×c×cos45°
4=2+c^2-2√2c×1/√2
c^2-2c-2=0
解の公式より、c=1±√3
c>0より、c=1+√3 になります。

答えはこれで合っているのですが、
aについての余弦定理でも出せるのではないか、と思いました。

(√2)^2=2^2+c^2-2×2×c×cos30°
2=4+c^2-4c×√3/2
c^2-2√3c+2=0
解の公式より、c=√3±1

でもこれだと、bについての余弦定理で解いた答えと違います。

どういうことでしょうか？
教えてください。

回答No.6

178-tall · ベストアンサー

>一通りじゃないのが普通なんですか！　知りませんでした.
　　　　　↓
ご自身が算定なさっているとおり…です。
　　　　　↓
>(√2)^2=2^2+c^2-2×2×c×cos30°
>2=4+c^2-4c×√3/2
>c^2-2√3c+2=0
>解の公式より、c=√3±1

ANo.4　をくりかえしますけど、、
　　　　　↓
>∠BAC を線書きし、AC = 2 で C を決め、C を中心にして半径 a の円を描くと、A-B 線上の 2 点で交わりますネ。
>それが、c=√3±1 …。

回答No.5

178-tall

>…正弦定理、余弦定理の問題です。
　　↑
なるほど。

「正弦定理」を使えば迷わずに済んだのですネ。

余弦定理に {A, a, b} を与えて c を勘定すると、解があっても一通りじゃないのがふつう。
どちらが所要のものか決めるには、もう一度、ほかの勘定をせねばなりません。

お礼

回答ありがとうございます！
一通りじゃないのが普通なんですか！
知りませんでした...

回答No.4

178-tall

c=√3-1 は何を示すのか？… ですね。

b についての余弦定理で解」いた場合も解が二つありました。
そのときは、負値の解を捨ててますけど…。

「a についての余弦定理でも出せる」のは確かで、やはり解は二つ (同値のばあいも…) 。
二つとも非負値なら、どちらも {A, a, b} を与えたときの c なのです。
略図を描いてみれば、一目瞭然。
∠BAC を線書きし、AC = 2 で C を決め、C を中心にして半径 a の円を描くと、A-B 線上の 2 点で交わりますネ。
それが、c=√3±1 なのでしょう。

ちなみに、「b についての余弦定理で解」いた場合の負値解は、線書きした∠BAC の外側への延長線上にあるのです。

回答No.3

shuu_01

今回の問題に限らず、数学の勉強において

誰かが考えた定理、公式をそのまま当てはめようとすると
失敗することがあります

いきなり定理を使うのではなく、公理からその定理を導き出して使う

それを何度も繰り返してると、定理がしっかり頭に定着します

今回の問題も、いきなり第２余弦定理を使うのではなく、

第１余弦定理を自分で導けるようになり、
第２余弦定理も自分で証明する訓練をしてると、

いきなり公式を使うのではなく、垂線を下ろしてみたり、
簡単な方法が思い浮かぶようになります

Wikipedia
余弦定理
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%99%E5%BC%A6%E5%AE%9A%E7%90%86

回答No.2

shuu_01

＞　でもこれだと、bについての余弦定理で解いた答えと違います。

う～む！

まず、（第２）余弦定理

△ABC において、a = BC, b = CA, c = AB, α = ∠CAB, β = ∠ABC, γ = ∠BCA としたとき

a2 = b2 + c2 － 2bc cos α
b2 = c2 + a2 － 2ca cos β
c2 = a2 + b2 － 2ab cos γ

は2つの辺の長さと1つの内角の大きさが分かっていれば、
もう1つの辺の長さが決まるという定理です

今回の場合は a、b がわかっていて、c を知りたいので

c2 = a2 + b2 － 2ab cos γ

を使います

c を知りたいのに、a2 = b2 + c2 － 2bc cos α

を使っちゃうと、± のところ、どうして良いかわからなく
なっちゃいますよね

お礼

何度も回答ありがとうございます。

c2 = a2 + b2 － 2ab cos γを使う、とのことですが...
γ=105°なので、分数に出来ないので計算出来ないんです。
αやβは、30°と45°なので、cosα=√3/2、cosβ=1/√2になるのですが...

回答No.1

shuu_01

質問文が長いので、後でじっくり読んでみますね

でも、問題はもっと簡単に答えが出ます

C から AB に垂線を引き、AB との交点を D とします

すると、△ CBD は D が 90度の二等辺三角形になり、
BC が √2 ってことは BD、CD は 1 です

△ ACD を見ると、sin（30°） = CD/AC なので

1/2 = 1/AC で AC = 2 とわかります

AD は AC cos（30°） = 2 X √3/2 = √3

AB = BD + AC = 1 + √3 と簡単です