数学Iの空間図形の問題

質問

１直方体ABCD-EFGHにおいて∠FAH=θとするとき、cosθの値を求めよ。
ただし、辺EF、FB、EHの長さをそれぞれ、
1、2、3とする。

２直方体ABCD-EFGHにおいて、
AE=√10、AF=8、AH=10とする。
△AFHの面積を求めよ。

３AE=3、AD=4、EF=3√3である直方体ABCD-EFGHがある。
∠AFC=θとするとき、
cosθの値と△AFCの面積を求めよ。

この3問をどのように解けばいいのか
教えてください＞＜

回答No.4

Mr_Holland

ANo.3です。
　計算ミスがありましたので訂正します。
　ご迷惑をおかけしました。

(2)　三平方の定理から
　　EF=√(AF^2-AE^2)=3√6, EH=√(AH^2-AE^2)=3√10
　∴FH=√(EF^2+EH^2)=12　　　　　　←　ここを訂正。
　△AFHに余弦定理を適用して
　　cos∠FAH=(AF^2+AH^2-FH^2)/(2・AF・AH) =1/8　　　　　　←　ここを訂正。
　∴sin∠FAH=√{1-(cos∠FAH)^2} =3√7/8　　　　　　←　ここを訂正。
　∴△AFH=(1/2)AF・AHsin∠FAH=15√7　　　　　　←　ここを訂正。

(3)　三平方の定理から
　　AF=√(AE^2+EF^2)=6, AC=√(AD^2+DC^2)=√43, FC=√(FG^2+CG^2)=5　　　　　　←　ここ(AC)を訂正。
　△ACFに余弦定理を適用して
　　cosθ=(AF^2+FC^2-AC^2)/(2・AF・FC) =3/10　　　　　　←　ここを訂正。
　∴sinθ=√{1-(cosθ)^2} =√91/10　　　　　　←　ここを訂正。
　∴△AFC=(1/2)AF・FCsinθ =(3/2)√91　　　　　　←　ここを訂正。

お礼

わざわざありがとうございます＾＾

回答No.3

Mr_Holland

(1)　三平方の定理から
　　AF=√(AE^2+EF^2)=√5, AH=√(AD^2+DH^2)=√13, FH=√(EH^2+EF^2)=√10
　△AFHに余弦定理を適用して
　　cosθ=(AF^2+AH^2-FH^2)/(2・AF・AH) =4√65/65

(2)　三平方の定理から
　　EF=√(AF^2-AE^2)=3√6, EH=√(AH^2-AE^2)=3√10
　∴FH=√(EF^2+EH^2)=6
　△AFHに余弦定理を適用して
　　cos∠FAH=(AF^2+AH^2-FH^2)/(2・AF・AH) =4/5
　∴sin∠FAH=√{1-(cos∠FAH)^2} =3/5
　∴△AFH=(1/2)AF・AHsin∠FAH=24

(3)　三平方の定理から
　　AF=√(AE^2+EF^2)=6, AC=√(AD^2+DC^2)=√37, FC=√(FG^2+CG^2)=5
　△ACFに余弦定理を適用して
　　cosθ=(AF^2+AC^2-AC^2)/(2・AF・AC) =2/5
　∴sinθ=√{1-(cosθ)^2} =√21/5
　∴△AFC=(1/2)AF・FCsinθ =3√21

お礼

わかりやすい説明
ありがとうございましたm(_ _)m

回答No.2

uzupekisutan

（１）

△ADHにおいて三平方の定理より

AH^2=HD^2+AD^2
AH^2=9+4
AH=±5

AH＞0より
∴AH=5

△AEHにおいて三平方の定理より

AF^2=AE^2+EF^2
AF^2=4+1
AF=±√5

AF＞0より
∴AF=√5

△EFHにおいて三平方の定理より

HF^2=HE^2+EF^2
HF^2=9+1
HF=±√10

HF＞0より
∴HF=√10

△AFHにおいて余弦定理より

cosθ=(AH^2+AF^2-HF^2)/2*AH*AF
=(25+5-10)/10*√5
=2/√5
=2√5/5

∴cosθ=2√5/5　※次から三平方の定理部分は簡略化します。

（２）

三平方の定理より

AD=3√10、AB=9√6

△FEHにおいて三平方の定理より

FH=12

△AFHにおいて

余弦定理より

cos∠FAH=(AH^2+AF^2-HF^2)/2*AH*AF
=(100+64-144)/160
=80/160
=1/2

0°<∠FAH<180°より
sin∠FAH=√3/2

△AFH=(1/2)*AF*AH*sin∠AFH
=(1/2)*8*10*(√3/2)
=20√3

∴△AFH=20√3

（３）

三平方の定理より

AC=√43、FA=6、CF=5

△AFCにおいて

余弦定理より

cosθ=(FA^2+CF^2-AC^2)/2*FA*CF
=(36+25-43)/60
=18/60
=3/10

∴cosθ=3/10

sinθ=√(1-9/100)　(∵0°<θ<180°)
=√91/10

△AFC=(1/2)*FA*CF*sinθ
=(1/2)*6*5*(√91/10)
=3√91/2

∴△AFC=3√91/2

（３）もしかしたら途中で計算ミスをしているかもしれませんが、ざっとこんな感じです。

「cosC-…」の形の余弦定理は覚えておくととても便利です。
三角形の面積の公式は2種類有ると思いますが「ヘロンの公式」は余力があれば覚えてみて下さい。

お礼

丁寧に教えてくださって
ありがとうございましたm(_ _)m

回答No.1

Tacosan

1: 第2余弦定理
2: 3辺の長さからヘロンの公式 or 2辺と間の角の sin
3: 1 と 2

お礼

ありがとうございましたm(_ _)m