幾何学(行列)の問題を教えて下さい。

質問

以下の問題が分からず困っています。
問題：直交群と平行移動の直積{(A,b)|A∊O(n)、b∊Rⁿ}に次の演算を定義する。

(A₁,b₁)(A₂,b₂)=(A₁A₂,A₁b₂+b₁)
(1)この演算は結合的である、つまり
(A₁,b₁){(A₂,b₂)(A₃,b₃)}={(A₁,b₁)(A₂,b₂)}(A₃,b₃)を満たすことを示しなさい。
(2)この演算に関する単位元はEを単位行列として、(E,0)である。(A,b)の逆元は何か？
逆元の候補を与え、逆元(左逆元かつ右逆元)である事を示しなさい
という問題です。
(1)は一応解いてみたのですが、(2)が分かりません。
私が解いた(1)の解答があっているかと、(2)の答えをお願いいたします。
以下、私が書いた解答です。
(1)
(A₁,b₁){(A₂,b₂)(A₃,b₃)}={(A₁,b₁)(A₂,b₂)}(A₃,b₃)を示す
問題文の式(A₁,b₁)(A₂,b₂)=(A₁A₂,A₁b₂+b₁)・・・(1)
を使う。
式の左辺
=(A₁,b₁){(A₂,b₂)(A₃,b₃)}
=(A₁,b₁)(A₂A₃、A₂b₃+b₂) #{(A₂,b₂)(A₃,b₃)}を(1)のように変形
=(A₁A₂A₃、A₁(A₂b₃+b₂)+b₁)
#↑(A₂A₃、A₂b₃+b₂)を(1)での(A₂,b₂)にあたると見て変形
=(A₁A₂A₃,A₁A₂b₃+A₁b₂+b₁)
同じように式の右辺は、
={(A₁,b₁)(A₂,b₂)}(A₃,b₃)
=(A₁A₂,A₁b₂+b₁)(A₃,b₃)
=(A₁A₂A₃,A₁A₂b₃+(A₁b₂+b₁))
=(A₁A₂A₃,A₁A₂b₃+A₁b₂+b₁)
左辺=右辺より成立
と書きました。
この(1)の解答があっているか教えて下さい。
(2)も分からないので教えて下さい。
長くなってしまいましたが、みなさんよろしくお願いします

回答No.1

akinomyoga · ベストアンサー

(1) 問題ありません。

(2) (A,b)の逆元を(A', b')とおくと、右逆元の性質
　(A,b)(A', b') = (AA', Ab' + b) = (E, 0)
が成立していなければならないので、直ちに
　A' = A⁻¹, b' = -A⁻¹b
と分かります。後は、左逆元の性質を確認します:
　(A⁻¹, -A⁻¹b)(A, b) = (A⁻¹A, A⁻¹b + (-A⁻¹b)) = (E, 0).
従って、(A⁻¹, -A⁻¹b) は右逆元かつ左逆元になっています■

お礼

ありがとうございます。
理解できました