行列の問題

質問

P=(a b) とP^2-dP=p^-1,ad-bc=1のとき、P^3を求めよ。
......(c d)

P^-1は逆行列です。問題文にケリー・ハミルトンと割り算を実行して、
(a^2+ad-1)P=(a+1)E・・・(1)という式を得ました。a^2+ad-1=0の時は分かるのですが、a^2+ad-1≠0の時が分かりません。模範解答では

(1)より、P=kEと置ける「K=(a+1)/(a^2+ad-1)」とあり、ここまではいいのですが、
『P=(k,0)
........(0,k)なので』とあります。なんでPは単位行列なのでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.2

kkkk2222 · ベストアンサー

じつは、最後にＰ＾３がどうなるのか。考えてました、Ｐ＾３＝ＥはＯＫだけど他の解が・・・　と叩いて、やっとわかりました。Ｐ＾３＝ーＥなんですね。

で本論。もう答でてるかも。

P=kE　と置ける。　ここまで解けてて何で、思います。でも慣れてない頃には、当方も？？？でした。＜割った＞と言うのが気になってるんですけど、＜代入した＞でしょうね。

さてさて

ａ　ｂ　　　ｋ　０
ｃ　ｄ　　　０　ｋ

でしょう
ｂもｃも０にしかならないし、
ａとｄは等しいですよね。

ふたつは

ａ　０　　ｋ　０
０　ａ　　０　ｋ　

それだけです。

もし、なんで　P=kE　か　と言う意味なら

(a^2+ad-1)P=(a+1)E・・・(1)　を睨んで、

もし　P　が　単位行列でなかたら、そんなＰ存在しないでしょ。

回答No.3

kkkk2222

ごめん、訂正です。
最後の行

×　　もし　P　が　単位行列でなかたら、そんなＰ存在しないでしょ。
○　　もし　P　が　単位行列の実数倍でなかったら。　そんなＰ存在しないでしょ。

回答No.1

ryn

> (1)より、P=kEと置ける「K=(a+1)/(a^2+ad-1)」とあり、ここまではいいのですが、
これがよいのなら

> 『P=(k,0)
> ........(0,k)なので』
は kE を成分表示しているだけなので
問題ないのではないでしょうか．