行列

質問

[問題]
実数dを定数とし、2次の正方行列AはA＾2 -A +dE =Οを満たす。(Eは単位行列、Οは零行列)
また、自然数nに対してx^n =(x^2 -x +d)*Q_n(x) +(a_n)*x +b_nとする。
(1)自然数nに対してa_(n+1) =a_n +b_nおよびb_(n+1) =-d*a_nを示せ。
(2)自然数nに対してA^n =(a_n)*A +(b_n)*Eを、(1)の式を用いて数学的帰納法で示せ。
(3)A=(1 2)
　　 　(3 0)とする。
このときA^2 -A -6E =Οを示し、自然数nに対してA^nをnの式で表せ。

この問題の(3)の最後の問題についてですが、模範解答では
x^n =(x -3)(x +2)*Q_n(x) +(a_n)*x +b_nとおいてx=3, -2を代入してa_nとb_nを求めています。
そしてそのままA^nを求めにかかっていますが、この部分では逆の証明は必要ないのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

逆の証明は、A (の候補)が具体的に求まってから
のほうが楽です。当面、必要条件で押すのが得策。