行列の式の因数分解

質問

「2×2行列Aの(1,1)成分をa,(1,2)成分をb,(2,1)成分をc,(2,2)成分をdとする（a,b,c,dは実数）。Oが2×2零行列,Eが2×2単位行列を表すとする。bc=1（式1）かつ(A-E)(A^2-3A+E)=O（式2）のとき、
問1　a+d≠adを示せ
問2　aおよびbの値を求めよ」
という問題に出会いました。
解答するにあたり（式2）を(A-E)[A-{(3+√5)/2}E][A-{(3-√5)/2}E]=Oと変形したのですがA=Eor{(3+√5)/2}Eor{(3-√5)/2}Eだとb=c=0⇒bc=0となってしまい（式1）を満たしません。ということは上記の変形が誤っているのでしょうか。回答をお待ちしております。ご協力お願いします。

回答No.2

eatern27

＞解答するにあたり（式2）を(A-E)[A-{(3+√5)/2}E][A-{(3-√5)/2}E]=Oと変形したのですが
この変形は間違っていませんが、ここから、
＞A=Eor{(3+√5)/2}Eor{(3-√5)/2}E
としたのが間違いです。

一般に、行列の場合には、
ＡＢ＝Ｏ⇒Ａ＝Ｏ or Ｂ＝Ｏ
は成り立ちません。つまり、
Ａ≠ＯかつＢ≠Ｏであっても、ＡＢ＝Ｏとなる場合があります。例えば、

[1 0][0 0]
[0 0][0 1]

を計算すると零行列になります。

お礼

すごい初歩的なところで引っかかっていたようです。
確かにそうですね。
ありがとうございました。

回答No.1

hobdnm

変形に関しては間違ってはいないです。ただ、その答えは「bc=1」という条件がない前提ならば、です。

今回は「bc=1」という前提があるため残念ながらそれは間違いであると思われます。

式２のA^2-3A+Eの方をOとして考える、つまりA^2-3A+E=Oとすると、bcの値が-4/5以上なら解が無限にあるようです。
（これはいちいち成分を計算して、(1,1)成分、あるいは(2,2)成分を判別式で解くと出せます。例えば(1,1)成分ならa^2-3a+1-bcとなるはず。それを判別式で出して…という感じです。）

だから出題者はある程度条件をしぼるために式１のような前提を設けたと思います。だったらそれに従うしかないと思いますね。

計算間違ってたらごめんなさい。