逆行列は存在するの？

質問

Ａの逆行列をＡ（－１）と表してみます。
高校生のとき不思議だったのが、
　　Ａ、Ｂに逆行列が存在するとき、
　　　（ＡＢ）（－１）＝Ｂ（－１）Ａ（－１）
という性質でした。これ自体に疑問を持ったのではなく、ＡＢの逆行列の存在を無条件に受け入れている様に思うからです。だって、＝で結ばれているということは右から左に変形できてもよさそうじゃないですか。
そこで質問ですが、この状態でＡＢという行列の逆行列は必ず存在するのでしょうか。高校の先生は「うーん。これは、左辺は右辺の計算をすれば出てくるという式だ」というだけで、私には理解できませんでした。分かりやすく教えてください。

回答No.1

springside · ベストアンサー

こういうことですよね。

「２つの行列A,Bに逆行列が存在するならば、ABにも逆行列が存在する。」という命題は正しいか。

正しいことを証明します。

ABに逆行列が存在することを証明するには、次の式を満たす行列Xが存在することを示せばよい。
（Eは単位行列）

　(AB)X = E

さて、Aには逆行列A(-1)が存在し、Bには逆行列B(-1)が存在することを踏まえ、X=B(-1)A(-1)と置くと、

(AB)X = (AB)B(-1)A(-1)
= ABB(-1)A(-1)　（←ABのカッコを外しました）
= AEA(-1)　（∵BB(-1)=E）
= AA(-1)　（∵AE=A）
= E

である。

以上より、ABの逆行列が存在し、それは、B(-1)A(-1)であることが示された。

お礼

ありがとうございます。よく分かりました。

ところで、結合法則は仮定してよろしいのですね？

回答No.4

noname#187419

#3です。
最後の一文
積に関しては結合法則です。
まちがえました、すみません。
もちろん交換法則は必ずしもなりたちません。

回答No.3

noname#187419

行列の積の定義から結合法則は証明できたとおもいます。
実際にやってみればわかりますよ。
（大変なので書くのは勘弁・・）
Ａをp×ｑ行列、Ｂをq×r行列、ｃをr×s行列として
（ＡＢ）Ｃ＝Ａ（ＢＣ）を計算してください
左辺＝～
右辺＝～
で～にでてくる行列が一致するはずです。
（もちろんどちらもp×s行列になりますヨ）

和に関して、結合法則、交換法則
積に関しては交換法則が成り立つ事を確認しておきましょう。

回答No.2

ryn

A,B に逆行列が存在することから
　det(A) ≠ 0, det(B) ≠ 0.
したがって，
　det(AB) = det(A)det(B) ≠ 0
となるので，AB は正則であり逆行列を持つ．
というように証明することも出来ます．

ただし，
・正方行列Aが正則であることと det(A)≠0 が必要十分
・det(AB) = det(A)det(B)
を既知としているので，ここから証明するなら
No.1 さんの回答の方が早そうですね．

参考までに．

お礼

「正則」という言葉を思い出しました。そうでしたね。
ありがとうございました。