四元数代数Hの中心について

質問

H・D・エビングハウス、他著 成木勇夫訳 シュプリンガー数学リーディングス第7巻 「数 下」 ISBN4-431-71124-4

の234頁の下部に掲載されている四元数代数の中心についての命題でつまづいています。命題の内容は添付画像の通りです。以下に自分の考察とわからない箇所を挙げます。

1. {x∈H:すべてのu∈ImHに対してxu=ux}は四元数代数Hの部分集合ImHの中心化代数であり、Z_H(ImH)(_Hは下添字)とすれば、Z(H)=R e=Z_H(ImH)と書けると考えている

2. 証明内の{x∈H:xu=ux}とZ(H)、{x∈H:xv=vx}とZ_H(ImH)との区別が付いていない

3. 2.の{x∈H:xu=ux}と{x∈H:xv=vx}がもしそれぞれZ(u)とZ_H(v)と書けるならば、Z(u)=R e=Z_H(v)と書けると考えている

4. 「u∈ImH,u≠0と仮定してよい」とあるが、何故u≠0なのか理解していない

5. 「(xからx-αeに移り、それを正規化せよ!)」とあるが、どの式をxからx-αeに移すのかが理解できていない

他にも怪しい箇所が点在してますが、最初は上記の項目から始めてみようと思いますのでよろしくお願いします。

回答No.4

akinomyoga · ベストアンサー

> しつこく纏めます。間違いが見つかった場合はしつこくてすいませんがご指摘願います。変数を若干変更しました。

全体の流れに関係のない細かい事は余り指摘しないようにしようと思っていましたが、段々と蓄積してきて苦しくなってきたので一通り指摘しておきます。自分の中で分かっていたとしても、人に説明する時には細かい事を丁寧に正しく記述する様にしてください。

■1 Hのベクトル部全体…Vc(H)

"ベクトル部全体" の言葉の意味は何でしょうか。後の方で Vc(H)^x という様な "o ∈ Vc(H)" を類推させる記述がありますが、一方で議論の途中で "o ∉ Vc(H)" が使われています。明確に定義して下さい。以降では "o ∈ Vc(H)" と想定し、"o ∉ Vc(H)" を使っている箇所で指摘を行います。

■2 u∈Vr(H)⇒(Nr(u)=1⇒Nrd(u)=1)

記号の使い方を誤っていませんか? この式を字義通りに取ると殆ど何も言っていません。何故なら u∈Vr(H) の条件が成立しなくても ∀u∈H, Nr(u)=1 ⇒ Nrd(u)=1 は常に成り立つからです。

他の部分についても、論理記号の使い方について色々気になる事があるのでここで改めて整理させて頂きます:
A ∧ B : AとBが共に真, A ∨ B : AかBのどちらかが真, ￢A : Aは真ではない, A → B :⇔ ￢A∨B,
∀x P(x) : 任意の a に対して P(a) が真,
∃x P(x) : P(x) が真となる様な x=a が存在する,
∀x∈A, P(x) :⇔ ∀x (x∈A → P(x)),
∃x∈A, P(x) :⇔ ∃x (x∈A ∧ P(x)).
(∀x∈A ⇒ P(x) の様な書き方をされていますが、奇妙に感じられます。∃x∈A と P(x) を繋ぐ時にはどの様に記述されるのでしょうか?)

また、ここでは、"⇒" は説明の文章の中で「なので」「従って」という意味で使うことにして、論理式中の「ならば」 "→" と区別することにします。つまり、命題・論理式自体を表す時に "→" を使って、命題・論理式に対する考察というか変形についてのよりメタな議論の中の「なので」「従って」を表すのに "⇒" を使うことにします。この時の "⇒" というのは式を構成するものではないことに注意して下さい。

つまり、u∈Vr(H) ⇒ Nr(u)=1 ⇒ Nrd(u)=1 は「u∈Vr(H) だから Nr(u)=1 で、よって更に Nrd(u)=1 である」という文章を書くのが面倒だから記号にしているだけで、u∈Vr(H) → (Nr(u)=1 → Nrd(u)=1) の様な、"全体として数学的定義を持つ論理式" や "命題" とは全く性質の異なるものです。例えば 1 + 2 + 3 = 3 + 3 = 6 の様な「式変形」と似たような物と思って頂けると良いです(左の式変形が (1+2+3=3+3)=6 や 1+2+3=(3+3=6) の様な意味ではないことは分かって頂けると思います)。

■3 q∈Vr(Vc(H))

暗黙に o ∉ Vc(H) が使われています。Vr(Vc(H)) は写像 Vr による Vc(H) の像(Image)かと思いますが、o (∈Vc(H)) に対して Nr(q) = 0 なので Vr(o) が定義できません。

■4
> より、
> q∈Vr(Vc(H))⇒q²=-e
> が導出されます。

導出できません。q∈Vr(Vc(H)) → q∈Vc(H) を無意識に使っていませんか。勿論、これは成立するので結論的には正しいですが、言及無しに使って良いほど自明なものでもない様に思います。何より、質問者さんがミスっているのではないかという疑いを読み手に想起させますので、丁寧に書くべきかと思います。

■4

> R-代数A₁,A₂に対し、A₁+A₂:=∀a₁∈A₁∀a₂∈A₂⇒{a₁+a₂: }
> α∈R、R-代数Aに対し、α・A := ∀α∈R∀a∈A⇒{α・a: }

記号の意味が分かりません: (1) := の右辺に来るのは項でなければならないが、量化子のついた命題になっている (2) "→" の右辺に来るのは命題でなければならない。(3) αは左辺の自由変数なのに、右辺の量化子の束縛変数に隠蔽されて右辺に影響を与えていない。

かような謎の記法を新しい記法として定義・導入しようにも (3) の所為で意味が曖昧なので全く議論には使えません。何より、余りに変な記法なので読む気をなくします。後半部分のこの記法を使っている部分は全部書き直して下さい。というか、

> R-代数A₁,A₂に対し、A₁+A₂:={a₁+a₂: a₁∈A₁ ∧ a₂∈A₂}
> α∈R、R-代数Aに対し、α・A := {α・a: α∈R ∧ a∈A}

で十分明瞭かと思うのですが。これは一般的な記法です。もし不満足であれば以下の形で定義されているものとして上を解釈して下さい。

a ∈ A₁+A₂ :⇔ ∃a₁∃a₂(a₁∈A₁ ∧ a₁∈A₂ ∧ a = a₁ + a₂),
a ∈ α・A :⇔ ∃a₁(a₁∈A ∧ a = α・a₁).

(集合Aを定義するということは a∈A という命題に具体的な定義を与えることに等しいことに注意して下さい。内包的記法 A = { ... } は、a∈A の意味を定義するための一つの方法に過ぎません。)

■5

> の時、Z(H)=Z_H(Vc(H))=Sc(H)

何故これがここに記述されているのでしょうか。上記を示す為に、より一般化された言明として後に続く "命題" を示そうとしていることを理解されていますか。つまり、これはこれから示そうとしている事(に含まれているもの)ですので、もしここに記述するのだとしたら「未だ示されていない事であって、これから示そうとしている事である」ことを明記するべきです。

■6

> の時、H∖Sc(H)≠Vc(H)^×

これは一体何でしょうか。後の議論で使いますか?

■7

> 因みに、
> Z(H)=Z_H(Vc(H))=Sc(H)
> であり、これから証明するが、

これは (■5) と同様です。"Z(H)=Z_H(Vc(H))=Sc(H)" はここにあるべきではないと思うのですが。

■8

> 証明:

(■4)で指摘した点を直していただき、より意味が明確になる様にしていただければ見るかもしれません。

お礼

ご指摘ありがとうございます。泣きました^^「自分センスねえな」とつくづく感じさせられます。さて、良い感じにボロが出た所で修繕に取り掛かります。ご指摘から己の問題点を摘出し、読むに足りる文章を目指して書くだけです。添字は基本ゼロオリジンです。
■証明等で使用される記号
よって(含意記号との区別)…→
等しい(等価記号との区別)…<->
「項が等しい」と言う定義…:=
「命題が同じ」と言う定義…:<->
何故ならば…∵
ゆえに(証明の終わりに使用する場合)…∴
ゆえに(証明の途中で使用する場合)…i.e.
証明の終了…Q.E.D.
■論理記号の記述
(命題)論理式…P、xを変数とした論理式…P(x)
否定記号…￢、Pの否定…￢P
連言記号…∧、P₀とP₁の連言…P₀ ∧ P₁
選言記号…∨、P₀とP₁の選言…P₀ ∨ P₁
含意記号…⇒、P₀ならばP₁…P₀⇒P₁ <-> ￢P₀ ∨ P₁
等価記号…⇔、P₀とP₁は等価…P₀⇔P₁
■量化記号の記述
全称量化子…∀、任意のx₀に対しP(x₀)が真…∀x(P(x))
特称量化子…∃、あるx₀に対しP(x₀)が真…∃x(P(x))
∀x∈X :<-> ∀x(x∈X)
∃x∈X :<-> ∃x(x∈X)
∀x∈X⇒P(x) :<-> ∀x(x∈X⇒P(x))
∃x∈X ∧ P(x) :<-> ∃x(x∈X ∧ P(x))
■四元数に関する記号
実数全体の集合…R
Rの単位元(ゼロ、イチ)…0, 1
Rの正数全体の集合…R⁺
R⁺の閉包…Cl(R⁺)
e,i,j,kを標準基底とした線形空間…V⁴(e,i,j,k)
四元数全体の集合…H
Hの単位元(ゼロ、イチ)…o, e
Hのスカラ乗法… ・ (四元数のスカラ部全体の集合をR・eと表します)
Hの標準基底e,i,j,k、実数∃α∃β∃γ∃δ∈Rに対し、四元数qを以下の様に表す
q=α・e+β・i+γ・j+δ・k,i²=j²=k²=ijk=-e(交換律が成立しない点に注意)
v=β・i+γ・j+δ・kとし、q=α・e+vと表すとする。
eを標準基底とした線形空間…V¹(e)
四元数qのスカラ部(写像)…Sc:H→V¹(e),Sc(q)=α・e
Hのスカラ部全体の集合…Sc(H)=R・e
i,j,kを標準基底とした線形空間…V³(i,j,k)
四元数qのベクトル部(写像)…Vc:H→V³(i,j,k),Vc(q)=v
Hのベクトル部全体の集合…Vc(H)=R・i⊕R・j⊕R・k
四元数qのノルム(写像)…Nr:H→Cl(R⁺),Nr(q)=√(α²+β²+γ²+δ²)
四元数qの被約ノルム(写像)…Nrd:H→Cl(R⁺),Nrd(q)=Nr(q)²
四元数qの被約シュプール(写像)…Srd:H→R,Srd(q)=2α
四元数qの逆数…q⁻¹=1/q
四元数の単位球面…Sph³(H)
Hの単数全体の集合…H^×(^×は上添字)
四元数のベルソル(単位四元数、写像)…Vr:H^×→Sph³(H),u=Vr(q)=Nr(q)⁻¹・q(≠o)
四元数のVベルソル(造語、単位ベクトル四元数)全体の集合…Vc(Vr(H))
四元数代数Hの中心…Z(H):=Z_H(H):={z∈H:∀x∈H⇒zx=xz}
四元数代数Hの部分集合Vc(H)の中心化代数…Z_H(Vc(H)):={z∈H:∀u∈Vc(H)⇒zu=uz}
の時、Z(H)=Z_H(Vc(H))=Sc(H)
■H∖Sc(H)とVc(H)^×の違い
Vc(H)の単数全体の集合…Vc(H)^×
HにおけるSc(H)の差集合…H∖Sc(H)
の時、
H∖Sc(H)≠Vc(H)∖{0}=Vc(H)^×(e+i∈H∖Sc(H),e+i∉Vc(H)^×)
---
定理:
Vc(Vr(H))=Vr(Vc(H)^×)　(V-VersorSet)
証明:
写像の合成…∘とすると、
Vc∘Vr:H^×→Sph³(H)→V³(i,j,k)
o∈Vc(H)より、所謂"写像VrによるVc(H)の像"によってVc(Vr(H))と等しい物を作りたければ、
Vr(Vc(H)^×)とせねばならない。　Q.E.D.
---
定理:
q∈Vc(Vr(H))⇒q²=－e　(VcVrNomal)
証明:
一般に四元数q∈Hに対して2次方程式
q²－Srd(q)・q+Nrd(q)・e=o　(ハミルトン・ケイリーの定理、HC)
が成立する。
(HC)
　<->q²=Srd(q)・q－Nrd(q)・e
q∈Vr(H)の場合、Nrd(q)=1、
(HC)
　<->q²=Srd(q)・q－e
となる。更に、q∈Vc(Vr(H))の場合、Srd(q)=0より、
(HC)
　<->q²=－e
∴ q∈Vc(Vr(H))⇒q²=－e　Q.E.D.
---
命題:
∀p∈H∖Sc(H)⇒{z∈H:zp=pz}=Sc(H)+R・p
証明:
先ずv∈VcH,p=α・e+vと書くと、
Z_H(p)={x∈H: xp=px}(Z(H)=∩_{p∈H}Z_H(p))
Z_H(v)={x∈H: xv=vx}(Z_H(Vc(H))=∩_{v∈Vc(H)}Z_H(v))
の時、Z_H(p)=Z_H(v)
v=Nr(v)・Vr(v)より、
xv=vx<->(Vr(v)x=xVr(v) ∨ Nr(v)=0)
ここではp∈Vc(H)^×に限定する。
p∈Vc(H)^×⇒p=Nr(p)・Vr(p)(Nr(p)≠0)より、
xp=px
　<->Nr(p)⁻¹・xp=Nr(p)⁻¹・px
　<->x(Nr(p)⁻¹・p)=(Nr(p)⁻¹・p)x
　<->x(Nr(p)⁻¹・(Nr(p)・Vr(p)))=(Nr(p)⁻¹・(Nr(p)・Vr(p)))x
　<->xVr(p)=Vr(p)x　(正規化)
より、
Z_H(p)
　={x∈H: xp=px}
　={x∈H: xVr(p)=Vr(p)x}
i.e.　p²=-e(∵V-VersorSet,VcVrNomal)　…(＊)
次に、H=Sc(H)⊕Vc(H)より、ξ∈R,y∈Vc(H)^×⇒x=ξ・e+yと書き表せる。
x=ξ・e+yを使ってZ(p)を表してみよう。
Z_H(p)
　={x∈H: xp=px}
　={ξ・e+y∈H: (ξ・e+y)p=p(ξ・e+y)}
　={ξ・e+y∈H: ξ・p+yp=ξ・p+py}
　={ξ・e+y∈H: yp+py}
　={ξ・e+y₁∈H: ∃ξ∈R ∧ ∃y₁∈{y∈Vc(H)^×: yp=py}}
(ここで、∃ξ∈R ∧ ∃y₁∈{y∈Vc(H)^×: yp=py} :<-> ∃ξ∃y₁(ξ∈R ∧ y₁∈{y∈Vc(H)^×: yp=py}))
　=R・e+{y∈Vc(H)^×: yp=py}
　=Sc(H)+{y∈Vc(H)^×: yp=py}
Nr(y)=υ,Vr(y)=wとすると、
Z_H(p)
　=Sc(H)+{υ・w∈Vc(H)^×: (υ・w)p=p(υ・w)}
　=Sc(H)+{υ・w∈Vc(H)^×: υ・wp=υ・pw}
　=Sc(H)+{υ・w∈Vc(H)^×: ∃υ∈Cl(R⁺) ∧ ∃w∈Vr(Vc(H)^×) ∧ υ・wp=υ・pw}
(ここで、∃ξ∈R ∧ ∃y₁∈{y∈Vc(H)^×: yp=py} :⇔ ∃υ∃w(υ∈Cl(R⁺) ∧ w∈Vr(Vc(H)^×) ∧ υ・wp=υ・pw))
　=Sc(H)+Cl(R⁺)・{w∈Vr(Vc(H)^×): wp=pw}
　=Sc(H)+Cl(R⁺)・{w∈Vc(Vr(H)): wp=pw}(∵V-VersorSet)　…(⁑)
i.e.　w²=-e(∵VcVrNomal)　…(⁂)
(w+p)(w-p)
　=w²+wp-pw-p²
　=o(∵(＊), (⁑), (⁂))
i.e.　w=±p
∴Z_H(p)
　=Sc(H)+Cl(R⁺)・{±p}
　=Sc(H)±Cl(R⁺)・p
　=Sc(H)+R・p　Q.E.D.

回答No.3

akinomyoga

回答No.2のコメントに対して。

> 1. {ξ・e+y∈H:yu=uy}=Sc(H)+{y∈Vc(H):yu=uy}((＊)、ξ・e+yからSc(H)に飛び出るのが奇異に思えます。)

殆ど「集合の "+" がそう定義されている」というだけの話です。集合 A, B に対して A+B := {a+b: a∈A, b∈B} と定義されます(他の定義の仕方もあるかもしれませんがこれと等価なはずです)。以下の様に書けば分かりますか?
　{ξ・e+y: ξ∈R, y∈Vc(H), yu=uy}
　= {ξ・e + y: ξ・e ∈ R・e, y∈{y'∈Vc(H): y'u=uy'}}
　= R・e + {y'∈Vc(H): y'u=uy'}.

※{ξ・e+y∈H:yu=uy} という書き方は正しくありません。ここでは ξ∈R, y∈Vc(H) という指定が入るべきですが、ξ・e+y∈H と書いただけでは ξ も y も任意の H の元を取り得ます。{ξ・e+y:ξ∈R, y∈Vc(H), yu=uy} と書くべきです。

> 2. Sc(H)+{y∈Vc(H):yu=uy}=Sc(H)+{y∈Vc(H):Vr(y)u=uVr(y)またはNr(y)=0}((＊＊)、条件の展開、Nr(y)=0ってVr(u)の時に出ていなかった様な…)

"同様に" とはいいつつも完全に同じではなくて、同じ発想でできるというだけの話です。Vr(q)=Nr(q)⁻¹・q という表式から分かる様に、Vr(q) は Nr(q)≠0 の時にしか定義できません。従って、Nr(q)=0 の時には特別な配慮が必要なのです。ただ、u の時には u≠0 という事が既に仮定されていたのでこの特別な配慮が不要だったという事に過ぎません。

実際に Nr(y)=0 の場合を考えると、Nr(y)=0 だけから uy=yu が示せるので、Nr(y)=0 だけで十分です:
　yu = uy ⇔ (Vr(y)u=uVr(y) ∨ Nr(y)=0).

お礼

ご回答ありがとうございます。
Z_H(u)
　={ξ・e+y:ξ∈R,y∈Vc(H),(ξ・e+y)u=u(ξ・e+y)}
　={ξ・e+y:ξ∈R,y∈Vc(H),yu=uy}
　={ξ・e+y₁:ξ・e∈R・e,y₁∈{y∈Vc(H): yu=uy}}
　=R・e+{y∈Vc(H): yu=uy}
　=Sc(H)+{y∈Vc(H):yu=uy}
　=Sc(H)+{y∈Vc(H):Vr(y)u=uVr(y) ∨ Nr(y)=0}(Vr(u)≠0!)
β=Nr(y),
y'=
　β≠0⇒Vr(y)(∈Vr(Vc(H)))
　β=0⇒0
の時、
Z_H(u)
　=Sc(H)+{β・y'∈Vc(H):(y'²=-e ∨ β=0),y'u=uy'}
　=Sc(H)+R・{y'∈Vr(Vc(H)):y'²=-e,y'u=uy'}
後は、質問の画像の議論により、y'∈Vr(Vc(H)),y'²=-e,y'u=uy'⇒y'=±uなので、
∴Z_H(u)
　=Sc(H)+R・{±u}
　=Sc(H)+R・u　Q.E.D.
不備が無ければ、少し日を置いてからベストアンサーとさせて頂きたいと思います。

補足

しつこく纏めます。間違いが見つかった場合はしつこくてすいませんがご指摘願います。変数を若干変更しました。

Rの単位元…0, 1
Rの正数全体…R⁺
R⁺の閉包…Cl(R⁺)
Hの単位元…o, e
Hのスカラ乗法… ・ (四元数のスカラ部全体はR・e)
Hのスカラ部全体…Sc(H)=R・e
Hのベクトル部全体…Vc(H)
四元数qのベクトル部…v∈Vc(H)
四元数qのノルム…Nr(q)=|q|
四元数qの被約ノルム…Nrd(q)=Nr(q)²=|q|²
四元数qの逆数…q⁻¹=1/q
四元数のベルソル(単位四元数)…Vr(q)=Nr(q)⁻¹・q=u
四元数の“Vベルソル”(単位ベクトル四元数)全体…Vr(Vc(H))

この命題に於いて要となる事項と思われますが、以下2式
v∈Vc(H)⇒v²=-Nrd(v)・e
u∈Vr(H)⇒(Nr(u)=1⇒Nrd(u)=1)
より、
q∈Vr(Vc(H))⇒q²=-e
が導出されます。q²=-eが真となる十分条件はqが所謂“Vベルソル”である、つまりq∈Vr(Vc(H))なので、之を導いていく事になります。

R-代数A₁,A₂に対し、A₁+A₂:={a₁+a₂: a₁∈A₁ ∧ a₂∈A₂}
α∈R、R-代数Aに対し、α・A := {α・a: α∈R ∧ a∈A}
ですが、集合の中で条件を定義すると、量化子が曖昧になるのと、中で∀とすると集合が違う物になる問題があるので、以下の様に纏めました。
R-代数A₁,A₂に対し、A₁+A₂:=∀a₁∈A₁∀a₂∈A₂⇒{a₁+a₂: }
α∈R、R-代数Aに対し、α・A := ∀α∈R∀a∈A⇒{α・a: }
集合の右側(条件式)は敢えて空にして置きます。この書き方は証明の中で使用されています。

Hの中心…Z(H):=Z_H(H):={z∈H: ∀q∈H⇒zq=qz}
Vc(H)⊂Hの中心化代数…Z_H(Vc(H)):={z∈H: ∀v∈Vc(H)⇒zv=vz}
の時、Z(H)=Z_H(Vc(H))=Sc(H)

Hの単数全体…H^×=H∖{o}(^×は上添字)
Vc(H)の単数全体…Vc(H∖{o})=Vc(H)∖{o}=Vc(H^×)=Vc(H)^×
HにおけるSc(H)の差集合…H∖Sc(H)
の時、H∖Sc(H)≠Vc(H)^×

命題:
∀p∈H∖Sc(H)⇒(Z_H(p)={z∈H: zp=pz}=Sc(H)+R・p)
因みに、
Z(H)=Z_H(Vc(H))=Sc(H)
であり、これから証明するが、
Z_H(p)=Z_H(v)=Sc(H)+R・p=Sc(H)+R・v
である。

証明:
先ずα∈R,v∈Vc(H)⇒p=α・e+vとすると、
∀p∈H⇒Z(p)={x∈H: xp=px}(Z(H)=∩_{p∈H}Z_(p))
∀v∈Vc(H)⇒Z_H(v)={x∈H: xv=vx}(Z_H(Vc(H))=∩_{v∈Vc(H)}Z_(v))
の時、Z(p)=Z_H(v)より、p∈Vc(H)に限定する。

p∈Vc(H)⇒p=Nr(p)・Vr(p)より、
xp=px
　⇔Nr(p)⁻¹・xp=Nr(p)⁻¹・px
　⇔x(Nr(p)⁻¹・p)=(Nr(p)⁻¹・p)x
　⇔x(Nr(p)⁻¹・(Nr(p)・Vr(p)))=(Nr(p)⁻¹・(Nr(p)・Vr(p)))x
　⇔xVr(p)=Vr(p)x　(正規化)
より、
∀p∈Vc(H)⇒Z_H(p)
　=∀p∈Vc(H)⇒{x∈H: xp=px}
　=∀p∈Vc(H)⇒{x∈H: xVr(p)=Vr(p)x}
i.e.　p∈Vr(Vc(H))⇒p²=-e　…(＊)

次に、H=Sc(H)⊕Vc(H)より、ξ∈R,y∈Vc(H)⇒x=ξ・e+yと書き表せる。
x=ξ・e+yを使ってZ(p)を表してみよう。
∀p∈Vr(Vc(H))⇒Z_H(p)
　=∀p∈Vr(Vc(H))⇒{x∈H:xp=px}
　=∀ξ∈R∀y∈Vc(H)⇒{ξ・e+y∈H:(ξ・e+y)p=p(ξ・e+y)}
ここで、
(ξ・e+y)p=p(ξ・e+y)
　⇔ξ・p+yp=ξ・p+py
　⇔yp+py
より、
∀p∈Vr(Vc(H))⇒Z_H(p)
　=∀p∈Vr(Vc(H))∀ξ∈R∀y∈Vc(H)⇒Z_H(ξ・e+y)
　=∀p∈Vr(Vc(H))∀ξ∈R∀y∈Vc(H)⇒{ξ・e+y∈H:(ξ・e+y)p=p(ξ・e+y)}
　=∀p∈Vr(Vc(H))∀ξ∈R∀y∈Vc(H)⇒{ξ・e+y∈H:ξ・p+yp=ξ・p+py}
　=∀p∈Vr(Vc(H))∀ξ∈R∀y∈Vc(H)⇒{ξ・e+y∈H:yp=py}
　=∀p∈Vr(Vc(H))∀ξ∈R∀y₁∈Vc(H)⇒{ξ・e+y₁∈H:ξ・e∈Sc(H) ∧ y₁∈{y∈Vc(H): yp=py}}
　=∀p∈Vr(Vc(H))⇒R・e+{y∈Vc(H): yp=py}
　=∀p∈Vr(Vc(H))⇒Sc(H)+{y∈Vc(H):yp=py}
y∈Vc(H)⇒y=Nr(y)・Vr(y), Nr(y)=υ,Vr(y)=wとすると、υ∈Cl(R⁺),w∈Vr(Vc(H))より、
∀p∈Vr(Vc(H))⇒Z_H(p)
　=∀p∈Vr(Vc(H))∀υ∈Cl(R⁺)∀w∈Vr(Vc(H))⇒Sc(H)+{υ・w∈Vc(H):(υ・w)p=p(υ・w)}
　=∀p∈Vr(Vc(H))∀υ∈Cl(R⁺)∀w∈Vr(Vc(H))⇒Sc(H)+{υ・w∈Vc(H):υ・wp=υ・pw}
　=∀p∈Vr(Vc(H))∀w∈Vr(Vc(H))⇒Sc(H)+Cl(R⁺)・{w∈Vr(Vc(H)):wp=pw}　…(⁑)
i.e.　w∈Vr(Vc(H))⇒w²=-e　…(⁂)
(＊), (⁑), (⁂)より、
(w+p)(w-p)
　=w²+wp-pw-p²
　=o
i.e.　w=±p
∴∀p∈Vr(Vc(H))⇒Z_H(p)
　=∀p∈Vr(Vc(H))⇒Sc(H)+Cl(R⁺)・{±p}
　=∀p∈Vr(Vc(H))⇒Sc(H)±Cl(R⁺)・p
　=∀p∈Vr(Vc(H))⇒Sc(H)+R・p　Q.E.D.

回答No.2

akinomyoga

回答No.1 のコメントに対して。

> 1. H＼R・e=H＼ScH=VcH＼{0}=VcH^×(^×は上添字、単数を表す)が成り立つと思っている

すみません… "＼" はどの様な意味で使われていますか?

差集合の意味で使われているのであれば、提示された関係は成立しません。
例えば、i ∈ VcH, i≠0 に対して u = e + i ∈ H を考えると、
　u ∉ ScH なので u ∈ H＼ScH
ですが、一方で明らかに
　u ∉ VcH＼{0}
です。なので、
　H＼ScH ≠ VcH＼{0}
です。

商集合 "/" の意味で使われているのだとすると
　H / ScH ＝ VcH = VcH / {0}
ではありますが、わざわざ / {0} と書く意味はない様に思われますから、この解釈も変です…。

あるいは…例えば、線形空間(加群)の場合には "＼" に何か別の特別な意味を定義するのでしょうか? 詳しくないのですみません。

> 2. {x^'+α・e:x^'∈VcH,α∈R,(x^'-α・e)u=u(x^'-α・e)}のx^'-α・eがどうしてこうなったか分かっていない

すみません。ただの符号ミスです。正しくは、何をするかというと x を x' + α・e に置き換えるだけです。
--- 回答No.1 訂正部分 始まり ---
　= {x' + αe : x'∈Im H, α∈R, (x' + αe) u = u (x' + αe)}.
ここで (x' + αe) u = u (x' + αe) ⇔ x' u + αu = u x' + α u ⇔ x' u = u x' なので
--- 回答No.1 訂正部分 終わり ---

> 3. OKWaveで上添字の書き方(2乗など)を教えて頂きたい

Unicode に "上付き文字" という物があるのでそれを使っています。IME(かな漢字入力のソフト)の文字パレット(Unicode 表)を開いて、上付き文字を探して入力できます。上付の 2, 3, 1, 0 は \u00B2, \u00B3, \u00B9, \u00BA にあります。その他は、\u2070 の辺りにあります。それか、Wikipedia https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8A%E4%BB%98%E3%81%8D%E6%96%87%E5%AD%97 からコピー&ペーストするのが良いでしょうか。

私は一々文字パレットで探すのが面倒なので、過去の自分の回答からコピー&ペーストして使っています。
上付: º¹²³⁴⁵⁶⁷⁸⁹⁺⁻⁼⁽⁾ⁿ
下付: ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉₊₋₌₍₎
おまけ: ⊕ ∉

但し、º¹²³ 以外は使うと閲覧者の環境によって文字化けするかもしれませんので注意して下さい。
あと、プライム「'」は元から上付きなので u^' などではなく u' と書くのが普通です。

お礼

ご回答ありがとうございます。再度自分なりに記述しました(この纏めは最後)
---
四元数のスカラ部全体…Sc(H)=R・e(スカラ乗法を・と表す)
四元数のベクトル部全体…Vc(H)
四元数qの共軛…Cj(q)=q*
四元数qのノルム…Nr(q)=|q|
四元数qの被約ノルム…Nrd(q)=|q|²
四元数qの逆数…q⁻¹=1/q
四元数qのベルソル(単位四元数)…Vr(q)=Nr(q)⁻¹・q
四元数のVベルソル(造語です(´A`) 単位ベクトル四元数)全体…Vr(Vc(H))

四元数代数Hの中心…Z(H):=Z_H(H):={z∈H:∀x∈H⇒zx=xz}
四元数代数Hの部分集合Vc(H)の中心化代数…Z_H(Vc(H)):={z∈H:∀u∈Vc(H)⇒zu=uz}
の時、Z(H)=Z_H(Vc(H))=Sc(H)

四元数の単数全体…H^×(^×は上添字)
HにおけるSc(H)の差集合…H∖Sc(H)(すいません(´A`))
の時、H∖R・e=H∖Sc(H)≠Vc(H)∖{0}=Vc(H)^×(e+i∈H∖Sc(H),e+i∉Vc(H)^×)

命題:
∀u∈H∖Sc(H)⇒{z∈H:zu=uz}=Sc(H)+R・u(敢えて此処の{z∈H:zu=uz}に新たな記号を割り当てません)

証明:
先ずv∈VcH,u=α・e+vと書くと、
Z(u)=Z_H(u)={x∈H:xu=ux}(Z(H)=∩_{u∈H}Z_(u))
Z_H(v)={x∈H:xv=vx}(Z_H(Vc(H))=∩_{v∈Vc(H)}Z_(v))
の時、Z(u)=Z_H(v)…(＊)と書ける。
因みに、
Z(H)=Z_H(Vc(H))=Sc(H)
であり、これから証明するが、
Z(u)=Z_H(v)=Sc(H)+R・u=Sc(H)+R・v
である。
(＊)より、少ない範疇で考える為、u∈Vc(H)^×の場合のみで考える。

(正規化)
xu=ux
　⇔Nr(u)⁻¹・xu=Nr(u)⁻¹・ux
　⇔x(Nr(u)⁻¹・u)=(Nr(u)⁻¹・u)x
　⇔xVr(u)=Vr(u)x
より、
Z_H(u)
　={x∈H:xu=ux}
　={x∈H:xVr(u)=Vr(u)x}
　=Z_H(Vr(u))
よってVr(u)(∉0)の場合のみ考えればよい。u'=Vr(u)とすると、
u'²
　=Vr(u²)
　=Nrd(u)⁻¹・u²
　=Nrd(u)⁻¹・(-Nrd(u)・e)
　=-e
Vr(u²)=-eが成り立つので、u²=-e(∵Nr(u)=1)

無断で使う事
∀α∈R,∀q∈H⇒α・q=q(α・e)
∀q∈VcH⇒q²=-Cj(q)q=-qCj(q)=-Nrd(q)・e∈Sc(H)
etc.

次にH=Sc(H)⊕Vc(H)より、ξ∈R,y∈Vc(H)⇒x=ξ・e+yと書き表せる。
x=ξ・e+yを使ってZ_H(u)を表してみよう。
Z_H(u)
　={x∈H:xu=ux}
　={ξ・e+y∈H:(ξ・e+y)u=u(ξ・e+y)}
ここで、
(ξ・e+y)u=u(ξ・e+y)
　⇔ξ・u+yu=ξ・u+uy
　⇔yu+uy
なので、
Z_H(u)
　={ξ・e+y∈H:(ξ・e+y)u=u(ξ・e+y)}
　={ξ・e+y∈H:yu=uy}
　=Sc(H)+{y∈Vc(H):yu=uy}　…(＊)
　=Sc(H)+{y∈Vc(H):Vr(y)u=uVr(y)またはNr(y)=0}(Vr(u)の時と同様)　…(＊＊)
β=Nr(y),
y'=
　β≠0⇒Vr(y)(∈Vr(Vc(H)))
　β=0⇒0
の時、
Z_H(u)
　=Sc(H)+{βy'∈Vc(H):(y'²=-eまたはβ=0),y'u=uy'}
　=Sc(H)+R・{y'∈Vr(Vc(H)):y'²=-e,y'u=uy'}
後は、質問の画像の議論により、y'∈Vr(Vc(H)),y'²=-e,y'u=uy'⇒y'=±uなので、
∴Z_H(u)
　=Sc(H)+R・{±u}
　=Sc(H)+R・u　Q.E.D.
---
千秋楽を迎えていますが、気を緩めず分からない箇所を聞いて行きます。
以下の項目ですが、今一ピンと来ないので補足をお願いします。
1. {ξ・e+y∈H:yu=uy}=Sc(H)+{y∈Vc(H):yu=uy}((＊)、ξ・e+yからSc(H)に飛び出るのが奇異に思えます。)
2. Sc(H)+{y∈Vc(H):yu=uy}=Sc(H)+{y∈Vc(H):Vr(y)u=uVr(y)またはNr(y)=0}((＊＊)、条件の展開、Nr(y)=0ってVr(u)の時に出ていなかった様な…)

回答No.1

akinomyoga

詳しくないですが、画像を読んで分かる範囲で。

1. OK です。この内容(Z(H) = Re = Z_H(Im H))を、続く部分で示そうとしているかと思います。
2. それぞれ異なるものなので区別する必要があります。
　{x∈H : x u = u x} = Z_H(u),
　Z(H) = Z_H(H)
の様に書くと違いが分かるでしょうか? Z_H(u) は或る与えられた一つの u∈H と可換な元の集まりで u 毎に異なる Z_H(u) を考える事ができます。一方で、Z(H) はあらゆる u∈H と可換な元の集まりです。あるいは、
　Z(H) = ∩_{u∈H} Z_H(u),
と考えるとより分かりやすいかもしれません。

同様に、{x∈H : x v = v x} = Z_H(v) と Z_H(Im H) も異なります。

3. 違います。成り立つのは
　Z_H(u) = R e + R u = R e + R v = Z_H(v)
です。2. に記した様に、Z_H(u) は或る一つの u について考えたものです。

4. 「u∈Im H, u≠0と仮定してよい」というのは「u∈Im H, u≠0 を満たすような u について考えれば、"その結果を用いて一般の u∈H についても簡単に考えられる"。だから、以降は u∈Im H, u≠0 の時だけ考えることにする」という様な意図が入っています。

> 何故u≠0なのか理解していない
後で楽するためです。実の所、u≠0 という条件があってもなくても別に良いですが、考えなければいけない u はできるだけ少ない方が後で楽になるので、上記の "その結果を用いて一般の u∈H についても簡単に考えられる(A)" が崩れない範囲で、できるだけ u を制限しちゃおうという発想です。つまり u≠0 という条件がついていても (A) ができるから、取り敢えず u≠0 も入れちゃおうという事です。(もちろん、(A) の「簡単に」の程度は主観によるところが大きいので、どこまで楽するのかというのは微妙な点として残るとは思います。)

5.「(xからx-αeに移り、それを正規化せよ!)」←恐らく著者は以下のようなことを言いたいのだと推察します(余り自信なし。たぶん文脈的に "正規化" は群の正規化ではなくて、唯単に x² = -e となる様にスケールするという事ではないかと)。
----------
無断で使う事(恐らくもっと前の部分で出てきている?):
(1) 任意の α∈R, ∀h∈H について α h = h α,
(2) 任意の h∈Im H について h² = - h^*h = -|h|²e ∈ R e,
(3) 他色々

まず x u = u x ⇔ (x u)/|u| = (u x)/|u| ⇔ x (u/|u|) = (u/|u|) x だから、
　Z_H(u)
　= {x∈H : x u = u x}
　= {x∈H : x u/|u| = u/|u| x}
　= Z_H(u/|u|)
なので u/|u| だけ考えれば u についても OK. ここで u' = u/|u| とすると u'² = -|u|² e/|u|² = - e である。u' を、改めて u と取り直せば u² = - e となる。

次に H = Im H + R e だから x∈H について x = x' + αe, where x'∈Im H, α∈R と書き表せる。この時 x' = x- αe を用いて Z_H(u) を表す事を考える:
　Z_H(u)
　= {x∈H : x u = u x}
　= {x' + αe : x'∈Im H, α∈R, (x' - αe) u = u (x' - αe)}.
ここで (x' - αe) u = u (x' - αe) ⇔ x' u - αu = u x' - α u ⇔ x' u = u x' なので
　Z_H(u) の続き
　= {x' + αe : x'∈Im H, α∈R, x' u = u x'}
　= {x' : x'∈Im H, x' u = u x'} + R e
　= {x' : x'∈Im H, x'/|x'| u = u x'/|x'| または |x'|=0} + R e　(※u/|u| の時と同様)
　= {βx'' : x''∈Im H, β∈R, x''² = - e または |x'| = 0, x'' u = u x''} + R e
　　　(※β=|x'|, x'' = x'/|x'| (|x'|≠0), or 0 (|x'|=0) とした)
　= R {x'' : x''∈Im H, x''² = - e, x'' u = u x''} + R e.
後は、質問の画像の議論によって x''∈Im H, x''² = - e, x'' u = u x'' ⇒ x'' = ±u なので、
　Z_H(u) の続き
　= R {±u} + R e
　= R u + R e.
----------

お礼

ご回答ありがとうございます。取り敢えず、自分なりに理解した項目を纏めて行きたいと思います。自分の考察とわからない箇所は1.、2.、…と列挙していきます。記号の統制の為、使用している記号を変更した箇所がございますのでご了承下さい。

四元数のスカラ乗法…・、スカラ部はR・eと表します。
四元数のスカラ部…ScH=R・e
四元数のベクトル部…VcH(=ImH)、以降VcHと表します。
四元数のノルム…Nr、xのノルム|x|をNr xと表します。
四元数の被約ノルム…Nrd、|x|^2をNrd xと表します。
逆数の表現…x^{-1}=1／xとします。
四元数のベルソル(単位四元数)…Vr x=Nr x^{-1}・xとします。

四元数代数Hの中心…Z(H):=Z_H(H):={z∈H：∀x∈H⇒zx=xz}
四元数代数Hの部分集合VcHの中心化代数…Z_H(VcH):={z∈H：∀u∈VcH⇒zu=uz}
の時、Z(H)=Z_H(VcH)=ScHが成り立つ。

1. H＼R・e=H＼ScH=VcH＼{0}=VcH^×(^×は上添字、単数を表す)が成り立つと思っている

上記が正しければ、命題は以下の様に書けると思います。

∀u∈VcH^×⇒{z∈H：zu=uz}=ScH+R・u(ここでは敢えてここの{z∈H：zu=uz}に新たな記号を割り当てません)

証明に入ります。

先ずv∈VcH,u=α・e+vと書くと、
Z(u)=Z_H(u)={x∈H：xu=ux}(Z(H)=∩_{u∈H}Z_(u))
Z_H(v)={z∈H：xv=vx}(Z_H(VcH)=∩_{v∈VcH}Z_(v))
の時、Z(u)=Z_H(v)…(*)と書ける。
因みに、
Z(H)=Z_H(VcH)=ScH
であり、これから証明するが、
Z(u)=Z_H(v)=ScH+R・u=ScH+R・v
である。
(*)より、少ない範疇で考える為、u∈VcH^×の場合のみで考える。

正規化の箇所です。

xu=ux⇔Nr u^{-1}・xu=Nr u^{-1}・ux⇔x(Nr u^{-1}・u)=(Nr u^{-1}・u)x⇔xVr u=Vr uxより、
Z_H(u)={x∈H:xu=ux}={x∈H:xVr u=Vr ux}=Z_H(Vr u)
よってVr u(￢∈0)の場合のみ考えればよい。u^'=Vr uとすると、　←￢∈は∈の否定
u^{'2}=Vr u^2=Nrd u^{-1}・u^2=Nrd u^{-1}・(-Nrd u・e)=-e
Vr u^2=-eが成り立つので、u^2=-e(Nr u=1より)

次にH=ScH○+VcHより、α∈R,x^'∈VcH⇒x=x^'+α・eと書き表せる。(○+は直和)
x=x^'+α・eを使ってZ_H(u)を表してみよう。
Z_H(u)={{x∈H:xu=ux}=…

2. {x^'+α・e:x^'∈VcH,α∈R,(x^'-α・e)u=u(x^'-α・e)}のx^'-α・eがどうしてこうなったか分かっていない

3. OKWaveで上添字の書き方(2乗など)を教えて頂きたい

逆に見ずらくなってしまった可能性がありますが、宜しくお願いします。