楕円放物面のガウス写像は単位球面のどの範囲を覆うか

質問

楕円放物面のガウス写像は単位球面のどの範囲を覆いますか？という問題で解答・解説が書かれていますが、途中計算や解答の根拠がわかりません。

ただし、単位法ベクトルとガウス写像の
n(u,v)=
1/∥xu(u,v)×xv(u,v)∥・xu(u,v)×xv(u,v)
という公式から楕円放物面の単位法ベクトルを求めると思うのですが、その解法での解答の求め方で教えていただけると助かります。

解答には、半球面を覆う。解説には、南北どちらかの半球になるかは、パラメーターの取り方で決まります。とのみ書かれています。

なお問題にはそれ以外の選択肢があり、それらが間違いな理由やそれらの解説の意味もわかりません。途中計算も含めて詳しい解説を宜しくお願いします。
選択肢(1)球面全体を覆う。
選択肢(2)赤道の近くの領域を覆い、極の近くを覆わない。
選択肢(3)極の近くを覆い、赤道の近くを覆わない。
選択肢(4)球面の1点だけを覆わない。

それに対して解説では
(1)法ベクトルがz軸と平行になるのは原点だけです。
(2)原点で法ベクトルはz軸と平行になります。
(3)原点から離れた所では、法ベクトルは水平に近づきます。
(4)通常のパラメーターでは、法ベクトルは常にz軸方向と鋭角になります。
と書かれてあります。

と質問したところ、ある回答者さまから、以下のようにご回答をいただきました。
「楕円放物面のパラメーターは
x(u,v)=
au
bv
u^2+v^2

xu(u,v)=
a
0
2u

xv(u,v)=
0
b
2v

ご回答宜しくお願いします。

x(u,v)=(au,bv,u^2+v^2)
xu(u,v)=(a,0,2u)
xv(u,v)=(0,b,2v)
xu×xv=(-2bu,-2av,ab)
|xu×xv|=√(4b^2u^2+4a^2v^2+a^2b^2)
n(u,v)=(-2bu,-2av,ab)/|xu×xv|

ab=0のとき
x(u,v)=(0,0,u^2+v^2)
z軸半直線となって楕円放物面とならないから
ab≠0
a≠0
b≠0

ab>0のときn(u,v)のz座標
z=ab/|xu×xv|>0
だからn(u,v)は北半球の1点を覆う
zを任意の北半球の1点のz座標とすると
0<z≦1だから
v=0
u=a{√(1-z^2)}/(2z)とすれば
z=ab/|xu×xv|>0だから
北半球全面を覆う

ab<0のときn(u,v)のz座標
z=ab/|xu×xv|<0
だからn(u,v)は南半球の1点を覆う
zを任意の南半球の1点のz座標とすると
-1≦z<0だから
v=0
u=a{√(1-z^2)}/(2z)とすれば
z=ab/|xu×xv|<0だから
南半球全面を覆う

(1)球面全体を覆うことはない
(2)赤道を覆わない、どちらかの極を覆う
(3)両極をともに覆うことはない、赤道を覆わないけれどもその北か南のどちらかの近くを覆う
(4)どちらかの半球を覆い、他方の半球を覆わない

(1)
単位法ベクトル
n(u,v)=(-2bu,-2av,ab)/|xu×xv|
がz軸と平行になるとすると
n(u,v)=(0,0,±1)
だから
-2bu=0
-2av=0
u=0
v=0
∴
x(u,v)=(au,bv,u^2+v^2)=(0,0,0)
は原点となる

(2)
原点で
x(u,v)=(au,bv,u^2+v^2)=(0,0,0)
u=0
v=0
法ベクトル
n(u,v)=(-2bu,-2av,ab)/|xu×xv|=(0,0,ab)/|ab|=(0,0,±1)
はz軸と平行となる

(3)
法ベクトルのz座標
z=ab/√(4b^2u^2+4a^2v^2+a^2b^2)
とすると
原点から離れた所では,u,vのどちらかが∞に近づき
lim_{u→∞}z=0
lim_{v→∞}z=0
でz座標が0に近づくから
法ベクトルは水平に近づく

(4)
ab>0のとき
(0,0,1)とn(u,v)のなす角度をtとすると
n(u,v)=(-2bu,-2av,ab)/|xu×xv|
((0,0,1),n(u,v))=ab/|xu×xv|=cost>0
0≦t<π/2だから
z軸正方向と鋭角となる。

ab<0のとき
(0,0,-1)とn(u,v)のなす角度をtとすると
n(u,v)=(-2bu,-2av,ab)/|xu×xv|
((0,0,-1),n(u,v))=-ab/|xu×xv|=cost>0
0≦t<π/2だから
z軸負方向と鋭角となるが、
z軸正方向と鋭角とならない。」

追加質問がありますので、お手数ですがご回答お願いします。

質問1「ab>0のときn(u,v)のz座標
z=ab/|xu×xv|>0
だからn(u,v)は北半球の1点を覆う」理由

質問2「u=a{√(1-z^2)}/(2z)」と表せる理由

質問3「z=ab/|xu×xv|>0だから北半球全面を覆う」理由、また逆の理由

質問4　(3)で「原点から離れた所では,u,vのどちらかが∞に近づく」理由

質問5　(4)で「((0,0,1),n(u,v))=ab/|xu×xv|=cost>0」と単位法ベクトルのz座標を求める式でcosが出てくる理由。あとここは長さは1なので単位法ベクトルと言った方が適切だと思うのですが。

以上5点途中計算を含めて詳しい解説を宜しくお願いします。

回答No.1

muturajcp

u=a{√(1-z^2)}/(2z)と表せるというのは誤りでした。
u=-ax/(2z)
v=-by/(2z)
に訂正します。

R=(全実数)とする
曲面上の各点に対して
その単位法線ベクトルn(u,v)の始点を
原点に平行移動したとき
ベクトルの終点n(u,v)を対応させる
写像を曲面のガウス写像
ということにする。
単位法線ベクトルn(u,v)の大きさ
|n(u,v)|=1
だから
ガウス写像の値域を
n(R×R)={n(u,v)|u∈R,v∈R}
とすると
n(R×R)は単位球面上に含まれる
n(R×R)⊂{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1}
単位球面の内z>0の部分
{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1&z>0}
を北半球ということにする
単位球面の内z<0の部分
{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1&z<0}
を南半球ということにする
単位球面の内z=0の部分
{(x,y,0)|x^2+y^2=1}
を赤道ということにする

楕円放物面の各点の単位法線ベクトルは
n(u,v)=(-2bu,-2av,ab)/|xu×xv|
で
単位法線ベクトルの大きさは
|n(u,v)|=1
だから
ベクトルn(u,v)の始点を原点に平行移動したとき
n(u,v)の終点は
n(u,v)=(-2bu,-2av,ab)/|xu×xv|
そのものだから
単位球面
{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1}
上に含まれる
n(u,v)のz座標は
z=ab/|xu×xv|
だから

ab>0のときは
z=ab/|xu×xv|>0
だから
n(u,v)は
北半球
{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1&z>0}
に含まれる
ab>0のとき
n(R×R)⊂{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1&z>0}
(これをn(u,v)は北半球の1点を覆うという表現にしました)

任意の北半球の1点(x,y,z)に対して
u=-ax/(2z)
v=-by/(2z)
とすると
x^2+y^2+z^2=1
0<z≦1
ab>0のとき
|xu×xv|
=√(4b^2u^2+4a^2v^2+a^2b^2)
=√(b^2a^2x^2/z^2+a^2b^2y^2/z^2+a^2b^2)
=ab/z

-2bu/|xu×xv|=-2b{-ax/(2z)}{z/(ab)}=x
-2av/|xu×xv|=-2a{-by/(2z)}{z/(ab)}=y
ab/|xu×xv|=ab{z/(ab)}=z
だから
任意の北半球の1点(x,y,z)に対して
(x,y,z)=(-2bu,-2av,ab)/|xu×xv|=n(u,v)
となるu,vが存在するから
ab>0のとき
{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1&z>0}⊂n(R×R)
ab>0のときn(R×R)は
北半球
{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1&z>0}
全面を覆う
ab>0のとき
n(R×R)={(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1&z>0}

ab<0のときn(u,v)のz座標
z=ab/|xu×xv|<0
だからn(u,v)は
南半球
{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1&z<0}
に含まれる
ab<0のとき
n(R×R)⊂{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1&z<0}
(これをn(u,v)は南半球の1点を覆うという表現にしました)

zを任意の南半球の1点のz座標とすると
u=-ax/(2z)
v=-by/(2z)
とすると
x^2+y^2+z^2=1
0<z≦1
ab<0のとき
|xu×xv|=ab/z
だから
-2bu/|xu×xv|=x
-2av/|xu×xv|=y
ab/|xu×xv|=z
だから
任意の南半球
{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1&z<0}
の1点(x,y,z)に対して
(x,y,z)=(-2bu,-2av,ab)/|xu×xv|=n(u,v)
となるu,vが存在するから
ab<0のとき
{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1&z<0}⊂n(R×R)
ab<0のときn(R×R)は南半球
{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1&z<0}
全面を覆う
ab<0のとき
n(R×R)={(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1&z<0}

(3)
単位法ベクトルのz座標
z=ab/√(4b^2u^2+4a^2v^2+a^2b^2)
とすると
原点から離れた所とは
点(u,v)と原点(0,0)との
距離√(u^2+v^2)が十分大きい所という意味で
u^2+v^2が十分大きい所という意味で
u^2+v^2が∞に近づく所という意味で、
u^2+v^2が∞に近づく所では
u,vのどちらかが∞に近づき
lim_{u→∞}z=0
lim_{v→∞}z=0
でz座標が0に近づくから
単位法ベクトルは水平に近づく

(4)
ab>0のとき
(0,0,1)とn(u,v)のなす角度をtとすると
n(u,v)=(-2bu,-2av,ab)/|xu×xv|
原点をO
点N=n(u,v)
点Nからz軸への垂直点を
H=(0,0,ab)/|xu×xv|
とすると△OHNは∠Hが直角の直角三角形で
斜辺|ON|=|n(u,v)|=1
z軸辺|OH|=ab/|xu×xv|
だからcosの定義から
cost=cos∠NOH=|OH|/|ON|=ab/|xu×xv|
だから
((0,0,1),n(u,v))=ab/|xu×xv|=cost>0
0≦t<π/2だから
z軸正方向と鋭角となる。

ab<0のとき
(0,0,-1)とn(u,v)のなす角度をtとすると
n(u,v)=(-2bu,-2av,ab)/|xu×xv|
((0,0,-1),n(u,v))=-ab/|xu×xv|=cost>0
0≦t<π/2だから
z軸負方向と鋭角となるが、
z軸正方向と鋭角とならない。