ベクトル的四元数の立方積の交換則でつまづいています

質問

「数（下）」（Ｈ・Ｄ・エビングハウス、他著、成木勇夫訳、ISBN4-431-71124-4）からの質問です。

232頁の「ベクトル的四元数の立方積の交換則」の導出の方法が判らず、足踏みしています。

ベクトル的四元数u, v, w ∈ Im Hの立方積を<u×v, w>と表します。
ベクトル的四元数u, v同士の積は、

uv = -<u, v>e+u×v

と表され、

<uv, w>=<-<u, v>e+u×v, w>=<-<u, v>e, w>+<u×v, w>

ここでe⊥wなので、<-<u, v>e, w>=0となり、

<uv, w>=<u×v, w> …(1)

が導出されます。

u=βi+γj+δk
v=ρi+σj+τk

の時、uvを単調に書けば、

uv = -(βρ+γσ+δτ)e+(γτ-δσ)i+(δρ-βτ)j+(βσ-γρ)k …(*)

となり、(1), (*)より

<u×v, u>=0 …(2)

が導出されます。判らないのは、(1)の(？)uをu+wで置き換え、

u×v=-(v×u)

に注意すると、

交換則 <u×v, w>=<u, v×w> …(3)

が成立すると言うのですが、導出方法がわかりません。

交換則の導出、ひいては(1), (2), (3)のもっとエレガントな導出方法を教えて頂ければ幸いです。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

<u×v, u>=0 …(2)
(2)のuをu+wで置き換えると
<(u+w)×v,u+w>=0
<u×v+w×v,u+w>=0
<u×v,u+w>+<w×v,u+w>=0
<u×v,u>+<u×v,w>+<w×v,u>+<w×v,w>=0
<u×v,w>+<w×v,u>=0
<u×v,w>+<-v×w,u>=0
<u×v,w>-<v×w,u>=0
<u×v,w>-<u,v×w>=0
∴
<u×v,w>=<u,v×w>

お礼

ご回答ありがとうございます。

式(2)の u を u+w にすべき所を式(1)の u を u+w にするのかと言う所を間違えてしまいました。この様な間違えをしてしまうと己の限界を感じてしまって少し萎えます。ハミルトンやケーリーの様な数学者に成る訳では無いので良しとします。

どうもありがとうございました :-)