複素数の三角不等式|z+w| <= |z|+|w|の証明について質問で

質問

複素数の三角不等式|z+w| <= |z|+|w|の証明について質問です。
本に

シュヴァルツの不等式
(xu + yv)^2 <= (x^2 + y^2)(u^2 + v^2)
で、z = x+yi、w = u+viとすれば、
|Re(z w~)|　　　←wだけ共役複素数
= |Re{(x+yi)(u-vi)}|
= |xu + yv|
<= √(x^2 + y^2)√(u^2 + v^2)
= |z||w|
と書くことができます。

…とあるのですが、
まず、そもそも何故、虚数Imのところは計算せずに
実数Reの部分だけを計算しているのか、意図が分かりません。

それと、|Re(z w~)|は何故いきなりwが共役複素数になってるんですか？
これは、|z|^2 = |z~|^2 = z z~ という性質と関係がありますか？
シュヴァルツの不等式が(xu + yv)^2と二乗していたので、こっちでも二乗した、ということですか？

そして、その後はRe z = (z+z~)/2を適用して|xu + yv|になるのは分かるんですけど、
<= √(x^2 + y^2)√(u^2 + v^2)
になった経緯が分かりません。
(xu + yv)^2 <= (x^2 + y^2)(u^2 + v^2) が二乗だったので
|xu + yv| <= √(x^2 + y^2)√(u^2 + v^2) は二乗をとって二乗根にした、ということですか？

三角不等式自体は別の教科書の複素数平面上に書かれた図で理解できているつもりです。
||z_1| - |z_2|| <= |z_1 + z_2| <= |z_1| + |z_2|
等号はO, OP1↑, OP2↑が一直線上にあり、
右の等号は、OP1↑, OP2↑が同じ向きのときであり、
左の等号は、OP1↑, OP2↑が反対向きのときである。
||z_1| - |z_2|| <= |z_1 - z_2| <= |z_1| + |z_2|
等号はO, OP1↑, OP2↑が一直線上にあり、
右の等号は、OP1↑, OP2↑が反対向きのときであり、
左の等号は、OP1↑, OP2↑が同じ向きのときである。
…というような図です。

いろいろ質問してすみません。どうか教えてください。お願いします。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

落ち着きなさいな．

>|xu + yv|になるのは分かるんですけど、
><= √(x^2 + y^2)√(u^2 + v^2)

Schwartzの不等式を適用してるだけ．
A,B>=0のときは
A<BとA^2<=B^2は同値なんだから
そのままでしょう
＃ちなみに，こういうのは「二乗をとる」とはいいません
＃「二乗をとる」というと「二乗する」という逆の意味に解釈されえます．
＃まあ、気持はわかる（指数を「除去」するという意味で「とる」といってるんだろうから）けど

>実数Reの部分だけを計算しているのか、意図が分かりません。
>
>それと、|Re(z w~)|は何故いきなりwが共役複素数になってるんですか？

意図も何も明らかで
どうにかして「xu+yv」をzとwから構築しようとしただけ．
z=x+iy, w=u+ivなんだから
xuを作るにはzwを計算することが自然にでてくる．
けどそれだと，iyiv=-yvがでてきてしまって符号が逆になるから
zw~という風に共役を使うとうまくいく．
そしてでてきたxu+yvはzw~の実部だから，Re(zw~)ってわけ．
これをきちんと整理して書けば
最初からいかにも見通してましたというように
Re(zw~)から天下り式に記述する．
数学の証明の常套手段です．
これからたくさんみるでしょう，この手の
「その最初の一歩どうやってみつけたんじゃ」という類の証明を．
どうやって見つけたかを考えるのも勉強です．
＃ちなみに，xu+yvのように「掛け算」したものを「足す」というのは
＃(a+b)(c+d)のような展開を巧妙に使うことで処理することが多い．これも常套手段．

自分で実際に手を動かして計算してないでしょう？
計算してたらすぐ意味はわかるはず．
計算してたら zz~=|z|^2と関係があるなんて思わないと思うなあ．

お礼

ありがとうございます！
ようやく分かりました。上のは「Schwartzの不等式を適用してるだけ」なんですね。納得です。

> どうにかして「xu+yv」をzとwから構築しようとしただけ．
> z=x+iy, w=u+ivなんだから
> xuを作るにはzwを計算することが自然にでてくる．
> けどそれだと，iyiv=-yvがでてきてしまって符号が逆になるから
> zw~という風に共役を使うとうまくいく．
> そしてでてきたxu+yvはzw~の実部だから，Re(zw~)ってわけ．

素晴らしい説明です。お陰でスンナリ理解できました。

>最初からいかにも見通してましたというように
>Re(zw~)から天下り式に記述する．

それです、私が感じていた一抹の不快感は！(笑)　「先に結果ありき」なのにあたかも知らないフリして解いてるじゃないですか。　そのうち私も慣れるものなのでしょうか…甚だ疑問です。

手は動かしてましたよ、本当に、本当に。共役にならない場合も計算しましたし（|xu - yv| になりました）。ただ、頭が動いてなかっただけです！(笑)
ありがとうございました！

回答No.2

178-tall

>…そもそも何故、虚数Imのところは計算せずに 実数Reの部分だけを計算しているのか、意図が分かりません。

|z+w|^2 の勘定に現れるクロス項の解説みたいですね。

　|z+w|^2 = (z+w)*(z+w)~ = zz~ + zw~ + z~w + ww~

をご覧ください。
zz~ と ww~ は、そのまんま実数ですが、zw~ + z~w は zw~ の実部 (の二倍) を求めねばならないのです。

お礼

ありがとうございます。
確かに、私が引用した部分の次にそう書いてありますね。
zw~ + z~w
= Re(zw~)
= (zw~ + z~w)/2
= {(x+yi)(u-vi)+(x-yi)(u+vi)}/2
= {xu-xvi+yui-yvi^2+xu+xvi-yui-yvi^2}/2
= {xu-xvi+yui+yv+xu+xvi-yui+yv}/2
= {xu+yv+xu+yv}/2
= 2{xu+yv}/2
= xu+yv
<= |z||w|
ということですね、きっと。
ありがとうございました！