共軛と自己準同型

質問

四元数の共軛は乗法と加法を用いて以下の様に書き表すことが出来ます。

Cj Q = -1/2(Q + iQi + jQj + kQk)　… (*)

四元数 - Wikipedia　共軛、ノルムおよび逆数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0#.E5.85.B1.E8.BB.9B.E3.80.81.E3.83.8E.E3.83.AB.E3.83.A0.E3.81.8A.E3.82.88.E3.81.B3.E9.80.86.E6.95.B0

また、

シュプリンガー数学リーディングス　数(下)
.D.エビングハウス (著)、成木 勇夫 (翻訳)
出版社: 丸善出版
ISBN-10: 4621063871
ISBN-13: 978-4621063873

の235頁、§1.6 R-ベクトル空間Hの自己準同型　より、

任意の2つの四元数A,Bに対し、写像 Q l→ AQB は、Hからそれ自身へのR-線型自己準同型(∈End(H))である。

とあります。更に236頁の例に、共軛 Q l→ Cj Q はEnd(H)に属し、式(*)が示されています。

四元数の共軛写像がEnd(H)に属していると言う事は、AQB = Cj Q を満たす2つの四元数A,Bは存在するのでしょうか。存在するのなら、A,Bはどの様な値なのでしょうか。稚拙な文章ですが、宜しくお願いします。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

A No.3 を、貴方の記法で書き換えたのですね。
貴方の記法は、私には、読みにくいです。

気になる点として…

H の各元 q について、その共役元 Cj(q) は唯一に決まるということ。
だから Cj は唯一の写像であり、CjH は単元集合である。
何のために、CjH を定義するのでしょう？

自己準同型 End_x,y という言い方。
その Emd_x,y は、確かに、H の自己凖同型 End(H) の部分集合ですが…
End(H) の極一部でしかなく、Cj を含まない　というのが、No.3 の趣旨です。
End_x,y ≠ End(H) であることは、見えていますか？

No.3 に示したのは、Cj not∈ End_x,y です。
End(H) ~ Mat(4,R) や
CjH not∈ Srg End_x,y(H) や
CjH not∈ Sgp_× End_x,y(H) や
の証明は、添えていません。

＞ 四元数共軛 Cj の出発点は End_x,y からでは無い
「出発点」というのが何を意味するのか判りません。
「数（下）の235頁の§1.6の最初の定理」は、その本を持っていないので、
参照できません。f の定義も不明です。

＞ CjH の表現行列全体は End_x,y の表現行列全体に含まれない
上述の件もあり、私としては、
Cj は End_x,y の元ではない という話だと考えています。

お礼

ご回答ありがとうございます。記号が読みにくいと言うのは、よく言われますね。添え字記法について明記する必要があると思ったので、以下に表します。

a_1 … 変数 a に下添え字の 1

a^4 … 変数 a の 4 乗（いわゆる上添え字）

Σ_1^4 … 総和シグマ、 1 から始まって 4 まで

>> 何のために、CjH を定義するのでしょう？

数（下）、229頁、§1．3、Hの虚部空間（原文ママ）
---

Hamiltonの標準基底 e，i，j，k を用いる。H の 3 次元部分ベクトル空間

(1) ImH ：= Ri + Rj + Rk

は、複素数のときのアナロジーとして H の虚部空間といい、その元を“純虚”という。

(2) H = R e ○+ Im H （ベクトル空間の直和）

が成り立つ。ここで直線 R e は、単位元 e によって不変な意味をもっている。…

---

以上では、

∀q ∈ H => Vc q ∈ Vc H

、つまり Vc H はベクタ四元数全体の集合と捉える事が出来る筈です。つまり、 Cj H は、四元数共軛全体を表しています。写像

f ： X -> X’ <=> x l-> f(x)

が与えられた場合、像を、

Im(f) = f(X)

と表すのと一緒です。

>> 自己準同型 End_x，y という言い方。

ああ…この書き方はまずいですね。

http://www.mm.sophia.ac.jp/~tsuno/kougi/03/daisuu_10.pdf

で、

---

問17-9．群 G に於いて、 g ∈ G に対し Inn_g (x) ：= gxg^{-1} によって Inn_g ： G -> G を定める。

(1) Inn_g は G の自己同型になる（即ち Inn_g ∈ Aut(G) ）。（ Inn_g を g による内部自己同型と呼ぶ。）

(2) Inn ： G -> Aut(G) ： 群準同型。 …

---

と似たような書き方をしようとして失敗しています。End_x，y(q)（正確には End_{x，y}(q)、 End の右下に“x，y”と書く）と辛うじて書けても、End_x，y(H) は怪しいですね。

つまり、

Cj q … 四元数 q の共軛

Cj H … Cj q 全体の集合

End_{x，y}(q) … 自己準同型 q l→ xqy

End_{x，y}(H)（？） … End_{x，y}(q) 全体の集合

と言う事です。

CjH ≠∈ Srg End_a,b(H)

CjH ≠∈ Sgp_× End_a,b(H)

と書いて、「部分環にも、乗法部分群にもならない」と言う事を示したかったのですが、

---

No.3 に示したのは、Cj not∈ End_x,y です。

End(H) ~ Mat(4,R) や

CjH not∈ Srg End_x,y(H) や

CjH not∈ Sgp_× End_x,y(H) や

の証明は、添えていません。

---

と言う事だったようです。

>> 「数（下）の235頁の§1.6の最初の定理」は、その本を持っていないので、

数（下）、235頁、§1．6、R - ベクトル空間 H の自己準同型（原文ママ）
---

任意の２つの四元数 a，b に対して x l-> axb は H からそれ自身への R - 線型写像（自己準同型）である。 End H で自己準同型全体の R - ベクトル空間を記し次の命題を主張する。

定理 a_1，…，a_4 が H の基底であるとき、写像

H^4 -> EndH ，(b_1，b_2，b_3，b_4) l-> f ∈EndH　ただし f(x) ：= Σ_1^4(a_νxb_ν)

は R - 線型全単射である。

---

の f から四元数共軛 Cj が出来るのかな、と言う事です。 H^4 -> EndH ではないですよ。

>> Cj は End_x,y の元ではない という話だと考えています。

その考えで一致しているように思います。

長くなってしまったので、クールダウンの意味も兼ねて、ここまでにしておきます。

補足

四元数の行列表現
http://www.core.kochi-tech.ac.jp/math/documents/pdf/S16.pdf

回答No.3

alice_44

しまった、そのとおり。
も少し、質問をちゃんと読まないといけないですね。反省しました。

Q→Cj(Q) は End(H) の元で、End(H) は Mat(4,R) と環同型、
{ → | Q→AQB } は Mat(4,R) の部分集合だが…
{ → | Q→AQB } は Mat(4,R) の極一部で、Q→Cj(Q) を含みません。
部分環にも、乗法部分群にも、ならないし。

AQB = Cj(Q) となる A,B の存在を仮定して
これに Q = aE + bI + cJ + dK を代入し、
a,b,c,d の恒等式として係数比較すると、
AEB = E,
AIB = -I,
AJB = -J,
AKB = -K
と同値になります。

E は H の単位元だから、Mat(4,R) 表現上も単位行列になり、
AB = E から B = A^-1。よって、
AI(A^-1) = -I,
AJ(A^-1) = -J,
AK(A^-1) = -K.
この三式を辺々掛け合わせると、
左辺の積 = AI(A^-1)AJ(A^-1)AK(A^-1) = AIJK(A^-1) = -E,
右辺の積 = (-I)(-J)(-K) = E
となり、矛盾します。

Q = aE + bI + cJ + dK を、実4次ベクトル (a,b,c,d) と見れば、
Cj(Q) = TQ となる実4次行列 T =
[ 1　 0　0　0 ]
[ 0　-1　0　0 ]
[ 0　0　-1　0 ]
[ 0　0　0　-1 ]
は在るのだけれど。

お礼

ご回答ありがとうございます。今回の事項を纏めてみたいと思います。

---

<<記号表>>
q, x, y ∈ H
e, i, j, k … 四元数の単位
a, b, c, d ∈ R
Q, X, Y, ,E, I, J, K ∈ Mat(2, C)

共軛四元数、共軛四元数全体の集合
CjH ：= { Cj ： H → H <-> q l→ Cjq ∈ End(H) | ∀q ∈ H }

自己準同型 End_x,y ： H → H <-> q l→ xqy とその全体
End_x,y(H) ：= { End_x,y ： H → H <-> q l→ xqy ∈ End(H) | ∀X ∈ H }

ここで、

End(H) ~= Mat(4, R)

End_x,y(H) の部分環全体 … Srg End_x,y(H)
End_x,y(H) の乗法部分群全体 … Sgp_× End_x,y(H)
とすると、

CjH ≠∈ Srg End_a,b(H)
CjH ≠∈ Sgp_× End_a,b(H)

を示す（？）。

q = ae + bi + cj + dk のとき、

xqy = Cjq … (%)

<-> x(ae + bi + cj + dk)y = Cj(ae + bi + cj + dk)

<-> axey + bxiy + cxjy + dxky = ae - bi - cj - dk

a,b,c,d の恒等式として係数比較

<-> xey = e
.　.　 xiy = -i
.　.　 xjy = -j
.　.　 xky = -k

<-> XEY = E
.　.　 XIY = -I
.　.　 XJY = -J
.　.　 XKY = -K

この時Eは単位行列

<-> XY = E
.　.　 XIY = -I
.　.　 XJY = -J
.　.　 XKY = -K

∴ Y = X^-1

<-> XIX^-1. = -I
.　.　 XJX^-1 = -J
.　.　 XKX^-1 = -K

(XIX^-1)(XJX^-1)(XKX^-1) = (-I)(-J)(-K) … (%)

を考える。

(XIX^-1)(XJX^-1)(XKX^-1)

= XI(X^-1X)J(X^-1X)KX^-1

= X(IJK)X^-1

= X(-E)X^-1

= -(XX^-1)

= -E

一方、

(-I)(-J)(-K)

= -(IJK)

= -(-E)

= E

∴ 式(%%)は成り立たず(%)は矛盾。尚、

q = ae + bi + cj + dk

を実4次線型元（線型空間の元、と言う意味です）

(a)
(b)
(c)
(d)

に対する行列線形写像

Cj = Tr_M ∈ End(H) ~= Mat(4, R)

は（ここでは跡を Spur で表す）、

Cjq = Tr_M( (a) ) = ( 1　 0　0　0 )(a)
.　　　　　　 ( (b) )　 ( 0　-1　0　0 )(b)
.　　　　　　 ( (c) )　 ( 0　0　-1　0 )(c)
.　　　　　　 ( (d) )　 ( 0　0　0　-1 )(d)

---

以上から分かる事は、

（１） 四元数共軛 Cj の出発点は End_x,y からでは無い
（２） CjH の表現行列全体は End_x,y の表現行列全体に含まれない

だと思います。すると、四元数共軛の出発点は、数（下）の235頁の§1.6の最初の定理からだと思います。この時の f は、

f(q) = eqb_0 + iqb_1 + jqb_2 + kqb_3

で、

b_0 = -1/2e
b_1 = -1/2i
b_2 = -1/2j
b_3 = -1/2k … (&)

の場合と言った所でしょうか。End_x,y の表現行列と (&) の所以が気になります。

回答No.2

alice_44

Tex で書かれると、私は読めません。
気取って式を書く必要は無いように思いますが…

四元数の行列表現は、Mat(2,C) 上でも
Mat(4,R) でも、どちらでも構わないと思います。
貴方が使いやすい方を使ってください。
C が Mat(2,R) 上の行列表現を持つので、
Mat(2,C) の各成分をソレで置き換えて
ブロック行列を作ると、そのまま Mat(4,R) 上の
行列表現になっています。

お礼

ご回答ありがとうございます。TeXではご不満の様なのでテキストで纏めてみます。

四元数を

Q = aE + bI + cJ + dK

とすると、

Z = a + bi, W = c + di

の時、集合

HMat(2,C) := { [Z　.-W ] | ∀Z∀W∈C }
　　　　　　　　{ [W*　Z*] |　　　　　　　 . }

を定義すると、

Φ : H ～ HMat(2,C)

はR-環単準同型となり、

Φ(Q) = [Z　-W .] = [a + bi　-c - di] … (#)
　　　　　[W*　Z*]　 .[c - di.　.a - bi]

Φ(CjQ) = [ Z* W.] = [ a - bi　c + di] … (##)
.　　　　　　[-W* Z]　 [-c + di　a + bi]

となる。尚、

aE + bI = diag(Z, Z*)
… 二元数はΦ(Q)の対角行列

NrdQ = (NrQ)^2 ～ detΦ(Q)
… 被約ノルム(ノルムの2乗)はdetΦ(Q)と単準同型(?)

CjQ ～ Φ(Q)★
… 共軛はΦ(Q)のHermiteと単準同型(?)

と言う性質がある。又、集合

HMat(4,R) := { [. a　b　c .d] | ∀a∀b∀c∀d }
.　　　　　　　 .{ [-b　a -d　c] | 　　　　　　 ∈R }
.　　　　　　　 .{ [-c　d　a -b] |. 　　　　　　　　　}
.　　　　　　　 .{ [-d -c　b　a] |. 　　　　　　　　　}

に対し、

Φ' : H ～ HMat(4,R)

はR-環単準同型となり、

Φ'(Q) = [. a　b　.c　d]
　　　　　.[-b　a -d　c]
　　　　　.[-c　d　a -b]
　　　　　.[-d -c　b　a]

Φ'(CjQ) = [a -b -c -d]
　　　　　　 .[b　a　.d -c]
　　　　　　 .[c -d　a　.b]
　　　　　　 .[d　c -b　.a]

となる。こちらは、

NrdQ = (NrQ)^2 ～ detΦ(Q)
… ノルムの4乗はdetΦ(Q)と単準同型(?)

CjQ ～ Φ'(Q)Ｔ
… 共軛はΦ(Q)の転置と単準同型(?)

と言う性質がある。

二元数の場合、

CMat(2,R) := { [a -b] | ∀a∀b∈R }
　　　　　　　　{ [b a] |　　　　　　　 .}

φ : C ~= CMat(2,R)

の時、

φ(Z) = [a -b]
. 　　　　[b a]

φ(CjZ) = [. a b]
. 　　　　　 [-b a]

であり、

Φ'(Q) = [. a　b　.c　d] → [ [ .a　b] [ .c　d] ] → [ Z* W*] …(%)
　　　　　.[-b　a -d　c]　　 [ [-b　a] [-d　c] ]　　 [-W .Z .]
　　　　　.[-c　d　a -b]　　 [.　　　　　　　　　 ]
　　　　　.[-d -c　b　a]　　 [ [-c　.d] [ a -b] ]
　　　　　　　　　　　　　　　 [ [-d -c] [ b　.a] ]

Φ'(CjQ) = [a -b -c -d]　　 [ [a -b] [-c -d] ] → [Z　-W*] …(%%)
　　　　　　 .[b　a　.d -c] → [ [b　.a] [d .-c] ]　　 [W.　.Z*]
　　　　　　 .[c -d　a　.b]　　 [　　　　　　　　 . ]
　　　　　　 .[d　c -b　.a]　　 [ [c -d] [ .a . b] ]
　　　　　　　　　　　　　　　　 [ [d. c] [-b . a] ]

となると思うのですが、

(%)と(#)、(%%)と(##)はZ, Wそれぞれたすき掛けで交換しないと等しくならないと思うのですが…

回答No.1

alice_44

エビングハウスの方の Q は、四元数の行列表現であり、
End(H) の元(H から H への線型写像)の表現行列として表示されています。
AQB は、単なる実4次行列の積であって、
A や B は、四元数を表している訳ではありません。

本に戻って、四元数 w+xi+yj+zk(w,x,y,zは実数)が
どんな行列 Q で表されているか、確認してみましょう。
Q と Cj Q の行列を書き出して、見比べていると、
行列 A, B に気がつくと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。

自分は気取って式を書いてみても頭は良ろしく無いと思われるので、気が付いた事項を書いてみたいと思います。

シュプリンガー数学リーディングス　数(下)、226頁の同型F(Wikipediaでは環単準同型ですが)に従って共軛四元数を書き表してみると、wが共軛反転、zが符号反転している事が分かりました。しかし行列表現はMat(GL?)(2,C)とMat(4,R)の2つあり、どっちを考えれば良いでしょうか。また、線型代数の「表現行列」はこの事項では必要なのでしょうか。まとめた事項を以下のtexソースコードで提出します。閲覧できないなどの不備がございましたら補足で追って提出しようと思います。

---
\documentclass{jsarticle}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\begin{document}
\def\defeq{\stackrel{\scriptscriptstyle{\mathrm{def}}}{=}}
\noindent
\(
\mathbb{H}\mathrm{Mat}(2,\mathbb{C})\defeq
\left\{
\!\!\!
\begin{array}{c|c}
\begin{pmatrix}
Z_{;0}^{}&{-}Z_{;1}^{}\\
Z_{;1}^{*}&Z_{;0}^{*}\\
\end{pmatrix}
\!&\!
{}^\forall Z_{;0}^{}{}^\forall Z_{;1}^{}\in\mathbb{C}\\
\end{array}
\!\!\!
\right\}
\\\\
\varPhi:\mathbb{H}\to\mathbb{H}\mathrm{Mat}(2,\mathbb{C})の時、
\\\\
\varPhi(Q)
=
\begin{pmatrix}
Z_{;0}^{}&{-}Z_{;1}^{}\\
Z_{;1}^{*}&Z_{;0}^{*}\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
c_{;0}{\cdot}1_{\mathbb{C}}+c_{;1}{\cdot}\iota&{-}c_{;2}{\cdot}1_{\mathbb{C}}-c_{;3}{\cdot}\iota\\
c_{;2}{\cdot}1_{\mathbb{C}}-c_{;3}{\cdot}\iota&c_{;0}{\cdot}1_{\mathbb{C}}-c_{;1}{\cdot}\iota\\
\end{pmatrix}
\\\\\\
\varPhi(\mathfrak{Cj}Q)
=
\begin{pmatrix}
Z_{;0}^{*}&Z_{;1}^{}\\
{-}Z_{;1}^{*}&Z_{;0}^{}\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
c_{;0}{\cdot}1_{\mathbb{C}}-c_{;1}{\cdot}\iota&c_{;2}{\cdot}1_{\mathbb{C}}+c_{;3}{\cdot}\iota\\
{-}c_{;2}{\cdot}1_{\mathbb{C}}+c_{;3}{\cdot}\iota&c_{;0}{\cdot}1_{\mathbb{C}}+c_{;1}{\cdot}\iota\\
\end{pmatrix}
\cdots Z_{;0}が共軛反転、Z_{;1}が符号反転に
\\\\\\
\mathbb{H}\mathrm{Mat}(4,\mathbb{R})\defeq
\left\{
\!\!\!
\begin{array}{c|c}
\begin{pmatrix}
c_{;0}&c_{;1}&c_{;2}&c_{;3}\\
{-}c_{;1}&c_{;0}&{-}c_{;3}&c_{;2}\\
{-}c_{;2}&c_{;3}&c_{;0}&{-}c_{;1}\\
{-}c_{;3}&{-}c_{;2}&c_{;1}&c_{;0}\\
\end{pmatrix}
\!&\!
{}^\forall c_{;0}{}^\forall c_{;1}{}^\forall c_{;2}{}^\forall c_{;3}\in\mathbb{R}\\
\end{array}
\!\!\!
\right\}
\\\\
\varPhi:\mathbb{H}\to\mathbb{H}\mathrm{Mat}(4,\mathbb{R})の時、
\\\\
\varPhi(Q)
=
\begin{pmatrix}
c_{;0}&c_{;1}&c_{;2}&c_{;3}\\
{-}c_{;1}&c_{;0}&{-}c_{;3}&c_{;2}\\
{-}c_{;2}&c_{;3}&c_{;0}&{-}c_{;1}\\
{-}c_{;3}&{-}c_{;2}&c_{;1}&c_{;0}\\
\end{pmatrix}
\\\\\\
\varPhi(\mathfrak{Cj}Q)
=
\begin{pmatrix}
c_{;0}&{-}c_{;1}&{-}c_{;2}&{-}c_{;3}\\
c_{;1}&c_{;0}&c_{;3}&{-}c_{;2}\\
c_{;2}&{-}c_{;3}&c_{;0}&c_{;1}\\
c_{;3}&c_{;2}&{-}c_{;1}&c_{;0}\\
\end{pmatrix}
\)
\end{document}