数学の問題が解けません＞＜助けてください！

質問

学校の課題なのですが、恥ずかしながら全然わかりません。。
どなたか説明できる方いらっしゃいましたら、教えてください＞＜

問、複素数z=x+yi, w=u+viに対して、等式|zw|=|z||w|を示し、次の二平方の定理を導け。

(x^2+y^2)(u^2+v^2)=(xu-yv)^2+(xv+yu)^2

回答No.1

-somebody- · ベストアンサー

複素数z=x+yi, w=u+viに対して、等式|zw|=|z||w|を示す。

これは普通に計算しましょう。

もし複素数の絶対値が分からないならば
定義は
複素数Z=a+biの絶対値は
|Z|=√(a^2+b^2)
で与えられます。
左辺は
|xu-yv+(xv+uy)i|=√{(xu-yv)^2+(xv+uy)^2}
=√(x^2u^2+y^2u^2+x^2v^2+u^2y^2)

右辺は
√(x^2+y^2)(u^2+v^2)
…同じになりますよね？
二平方の定理もここの途中式から導けると思いますよ。

お礼

これを参考にしたら出来ました！
明日ちゃんと課題が出せそうです～
わかりやすい説明本当にどうもありがとうございました！

回答No.4

arrysthmia

話の順番が逆でない？
(x^2+y^2)(u^2+v^2)=(xu-yv)^2+(xv+yu)^2 は、
括弧を展開して、多項式を整理するだけで示せるが、
この式によって、|zw|=|z||w| が保証される。

お礼

た、確かにそんな気がします。。
教授に指摘してみます笑
ありがとうございました。

回答No.3

info22

複素数の絶対値の公式（定義式）|A+Bi|=√(A^2+B^2)
を使うだけの問題です。
左辺は　zwを計算してから絶対値|zw|をとる。
定理の等式の右辺(xu-yv)^2+(xv+yu)^2が出てきます。
式を展開してばらして下さい。（■）

右辺は　絶対値|z|と絶対値|w|を別々に公式を使って求め積をとる。
定理の等式の左辺(x^2+y^2)(u^2+v^2)が出てきます。
式を展開してばらして下さい。（●）

（■）と(●)の2つの式が等しいことが示せますよ。
やってみてください。

お礼

ありがとうございます。
参考になりました！

回答No.2

shintaro-2

複素平面のベクトルで考えると理解しやすいかと思います。

複素数Ｚの絶対値とは、原点から点Ｚまでの距離です。
すなわち|z|=√（x^2+y^2）です。

あとは、じっくり計算してください。

お礼

参考になりました。
素早い返答ありがとうございました！