二次形式

質問

次の二次形式を標準形に変形し、符号を求めよ。
(1)Ｆ(x,y,z,u)=xy+xz+xu+yz+yu+zu
(2)Ｆ(x,y,z,u)=x^2+4y^2+4z^2-u^2+2xy-2xz+2xu+4yz+2yu

この問題なのですが、うまく変形できません。

(何度もやってみたのですが、(1)すらできないので、
(1)は固有値を直接求めて、符号(1,2)を得ました。)

なにかコツがあるのでしょうか？
回答よろしくお願いします。

回答No.2

de_Raemon · ベストアンサー

質問(1)ですがa_ii≠０のときには
y_i＝(a_i1/a_ii)x_1+(a_i2/a_ii)x_2+…+x_i+…+(a_in/aii)x_nで残りはそのまま
だと思います。一見複雑ですが結果として新しい変数の1次の項がなくなります。
元の変数の1次の項がなくなるように平方完成させる方法と同じ結果を得ます。
計算は平方完成させていく方が、最初に変数変換するよりずっと楽です。

例えば問(2)ではa_11≠０なのでまずxに着目してxの1次の項2xy-2xz+2xuが消えるように
F＝x^2+4y^2+4z^2-u^2+2xy-2xz+2xu+4yz+2yu＝x^2+2x(y-z+u)+4y^2+4z^2-u^2+4yz+2yu
＝(x+y-z+u)^2+3y^2+3z^2-2u^2+6yz+2zu
とします。a_11＝1,a_12＝1,a_13＝-1,a_14＝1なので
x'＝x+(a_12/a_11)y+(a_13/a_11)z+(a_14/a11)u＝x+y-z+u
と変数変換してx＝x'-y+z-uを元の式に代入したのと一致するはずです。x'を用いると
F＝x'^2+3y^2+3z^2-2u^2+6yz+2zu
ここで新しい対角成分a_11＝1ですがx'の1次の項がないので(言い換えるとa_12＝a_13＝a_14＝0)
x'についてはこれ以上変数変換はできません。
次にa_22≠０なのでyに着目してyの1次の項が消えるように
F＝x'^2+3y^2+3z^2-2u^2+6yz+2zu＝x'^2+3(y+z)^2-2u^2+2zu
と平方完成できます。a_22＝3,a_21＝0,a_23＝3,a_24＝0なので
y'＝(a_21/a_22)x'+y+(a_23/a_22)z+(a_24/a_22)u＝y+z
と変数変換して
F＝x'^2+3y'^2-2u^2+2zu
次はa_44≠０なのでuに着目して・・・と続いていきます。最終的に
F＝(x+y-z+u)^2+3(y+z)^2+(1/2)z^2-(u-z/2)^2
となるので符号は(3,1)になると思います。

質問(2)ですが問題(1)を例にとれば、a_23≠0なので
y'+z'＝y , y'-z'＝z , xとuはそのままと変数変換して
F＝x(y'+z')+x(y'-z')+xu+(y'+z')(y'-z')+(y'+z')u+(y'-z')u
＝y'^2-z'^2+2xy'+xu+2y'u＝(y'+x+u)^2-x^2-z'^2-u^2-xu
＝(y'+x+u)^2-(x+u/2)^2-z'^2-(3/4)u^2
となって、やはり符号(1,3)を得ます。
a_ij≠0のどれかひとつを選んで、その添え字に対応する2個の変数
だけを変換すれば良いみたいです。

質問(3)ですが回答No.1で引用したことと具体例がひとつあるだけです。
そのように変換する理由とか理念は一切書いてありません。

今回実際に計算して感じたことは回答No.1で引用した変数変換(1)と(2)で
有用なのは(2)式の方で(1)は不要ってことです。
(1)式があてはまる場合というのは2乗の項がある場合なので平方完成で済みます。
(2)式があてはまる場合は2乗の項が無いので(2)式の変換によって2乗の項が現れます。
2乗の項がでてくれば、あとは平方完成でおしまいです。

お礼

回答ありがとうございます！
平方完成でうまくいきますね。
わたしは(x+y-z)^2をつくったりなどして一次項を消すことばかりに目が行っていましたが、xでまとめて平方完成することで、結局いくつか一次項は消えますね！

(3,1)ですか・・・やはり直接固有値を求めるのは一般に難しいのだということを改めて実感できました・・
こうも計算ミスばかりしていると・・(汗

これでやっと先を読み進めれます。ありがとうございましたm(_ _)m

回答No.1

de_Raemon

松坂和夫著の線型代数入門のp386にラグランジュの方法のやり方がのってました。

それによると
『二次形式Σa_ijx_ix_j で対角成分に0でないものがあるとき、例えばa_11≠0なら
y_1＝x_1+(a_12/a_11)x_2+…+(a_1n/a11)x_n　,　y_2＝x_2　,…,　y_n＝x_n　(1)
とおく。対角成分が全部0で、例えばa_12≠0なら
x_1＝y_1+y_2　,　x_2＝y_1-y_2　,　x_3＝y_3　,…,　x_n＝y_n　(2)
とおき、以下(1)(2)のような変換を繰り返す』
だそうです。

問題(1)に適用してみます。
対角成分が全部0でa_12≠0なので(2)式を用いて
x'+y'＝x , x'-y'＝y , zとuはそのまま　(3)
と変数変換すると
F＝(x'+y')(x'-y')+(x'+y')z+(x'+y')u+(x'-y')z+(x'-y')u+zu
＝x'^2-y'^2+2x'z+2x'u+zu＝(x'+z+u)^2-y'^2-z^2-u^2-zu　(4)
今度は対角成分a_11＝1≠0なので(1)式を用いてやっていくんですが、
今の場合には直接平方完成できそうで、
F＝(x'+z+u)^2-y'^2-(z+u/2)^2-(3/4)u^2
＝((x+y)/2+z+u)^2-(1/4)(x-y)^2-(z+u/2)^2-(3/4)u^2　(5)
で符号は(1,3)になりました。

計算ミスがあるかもしれないんで、確かめてみてください。

お礼

２問目は固有値を求めることで(4,1)になりましたが、いまだに変形できていません・・・。

補足

回答ありがとうございます。
松坂和夫さんの線型代数入門が手元にないので
確認できないのが残念です・・・。

私はもう一度固有値を求めることで符号を調べてみたのですが、(1,3)になりました。わたしは固有値が重複も込めていることを忘れてしまっていた＆計算ミスをしていたようです・・。すいません。

あと、そのラグランジェ法について質問させてください。
(1)
＞二次形式Σa_ijx_ix_j で対角成分に0でないものがあるとき、
＞例えばa_11≠0なら
＞y_1＝x_1+(a_12/a_11)x_2+…+(a_1n/a11)x_n　,　y_2＝x_2　,…,　y_n＝x_n

これは一般にa_ii≠０ならば
y_i＝x_i+(a_12/a_ii)x_2+…+(a_1n/aii)x_nで残りはそのまま
とすればいいのでしょうか?

(2)
＞例えばa_12≠0なら
＞x_1＝y_1+y_2　,　x_2＝y_1-y_2　,　x_3＝y_3　,…,　x_n＝y_n　
については、a_12以外のときはどのようにすればいいのでしょうか?
a_ij≠0のときは
x_i=y=i+y_j,x_j=y_i-y_j,残りはそのまま・・
とすればいいのでしょうか？

(3)松坂和夫著の線型代数入門にはなぜその変形で計算できるのか、その説明は(丁寧に)してありますか？

質問が多くてすいません。
回答よろしくお願いしますm(_ _)m