関数列の収束について

質問

[0,1]で定義された連続な関数g,hに対して距離dを導入します．
すると，({[0,1]で定義された連続な関数},d)は，距離空間になると思います．
ここで，[0,1]で定義された連続な関数の列(fn)(n=1,2,...)について，(fn)が，{[0,1]で定義された連続な関数}に収束するかどうかを判定したいときに疑問が生じました．
まず，与えられた(fn)が，直感的にF=[1(x=0),0(0<x≦1)]の形に近づきそうだと思いました．
そこで，(fn)がFに収束するなら，(fn)は{[0,1]で定義された連続な関数}には収束しない，と判定できると考えました．

しかし，このFは，[0,1]で定義された連続関数ではありません．
距離が定義されていない空間に属する関数Fに収束しそうな関数列(fn)について，どのように収束判定を行えばよいのでしょうか？
ご回答よろしくお願いします．

回答No.1

ask-it-aurora · ベストアンサー

文字通りにご質問の件を考えると収束判定はできません．

たとえば有理数上で数列
1.4
1.41
1.414
1.4142
...
を考えても√2が有理数にないのでこれは有理数上では収束しません．（もちろん実数上では収束しますが．）感じとしてはこれと同じではないでしょうか．なので上の例でいう実数に相当するものを一旦つくらないといけません．

したがって（ご質問に直接答えていませんが）次のこと考えるのが普通でしょう．
以下，(C([0, 1]), d) で元々の距離空間を表すことにします．
1. F の属している適当な C([0, 1]) 含む空間 X を取り，適当な距離 d' を入れる．
2. C([0, 1]) に d' で距離を入れる．
3. d と d' が同値な距離であることを確かめる．
4. (X, d') 上で収束判定をする．

けれども目的が「収束しないこと」を示すだけなら，このように空間を広げて議論するのは牛刀をもって鶏を割くようなものです．もしあなたの仰るような関数に「近づき」そうなら，収束先の連続関数の存在を仮定し，原点付近で ε-δ 論法をすれば背理法で容易に証明できるでしょう．

## 蛇足ですが一般の位相空間を考えているときは収束列の収束先が一意とすら限らないので注意が必要です．

お礼

ありがとうございます．
確かに，背理法で証明すれば，距離空間を拡張する必要はありませんね．
この方法で試みてみます．
これからもよろしくお願いします．