ベクトル列の収束

質問

ある定理の証明をしていた時に、
以下のことを使うとわかると途中の補足で出ていた事なのですが、
その補足でつまってしまいました。
どのようにして解けば良いのでしょうか。
宜しくお願い致します。

Ｅ：バナッハ空間
{x_n}:Ｅのベクトル列
{a_n}:実数列

∥x_n∥≦a_n　かつ　Σa_nが収束(n=1～∞)
ならば
Σx_nも収束(n=1～∞)

回答No.1

fef · ベストアンサー

仮定が直接的に意味することは sum ||x_n|| が収束するということですね．
ゆえに，点列 {sum_{n = 1}^{N} ||x_n||} は R 上のCauchy列であると言えます．
この事実と，自然数 M, N (M < N) に対して
　|| sum_{n = 1}^{N} x_n - sum_{n = 1}^{M} x_n ||
　= || sum_{n = M}^{N} x_n ||
　<= sum_{n = M}^{N} || x_n ||
が成り立つことから，{sum_{n = 1}^{N} x_n} は E 上のCauchy列．
Banach空間の完備性により，sum x_n は収束します．

お礼

そういうことだったのですか！
わかりやすい解説、ありがとうございます。