一様収束

質問

一様収束の問題をとりあえず示してみたのですが、あっているかどうか分からないので、分かる方がいたら教えてください。

＊仮定＊
　関数列{fn}、{gn}はI上f,gに一様収束する。

１．{fn+gn}がI上f+gに一様収束する事を示す。
仮定より
　∀ε1>0、∃N1（自然数）　s.t.　∀x∈I、n≧N1⇒|fn(x)-f(x)|<ε1
　∀ε2>0、∃N2（自然数）　s.t.　∀x∈I、n≧N2⇒|gn(x)-g(x)|<ε2
また、
　|(fn(x)+gn(x))-(f(x)+g(x))|≦|fn(x)-f(x)|+|gn(x)-g(x)|
なので∀ε1>0、∀ε2>0、∀x∈I、∃N1,N2（自然数）　s.t.
　n≧max{N1,N2}⇒|(fn(x)+gn(x))-(f(x)+g(x))|≦|fn(x)-f(x)|+|gn(x)-g(x)|<ε1+ε2

２．{fngn}がI上fgに一様収束する事を示す。
仮定より
　∀ε1>0、∃N1（自然数）　s.t.　∀x∈I、n≧N1⇒|fn(x)-f(x)|<ε1
　∀ε2>0、∃N2（自然数）　s.t.　∀x∈I、n≧N2⇒|gn(x)-g(x)|<ε2
また、
　|fn(x)gn(x)-f(x)g(x)|≦|fn(x)gn(x)-f(x)gn(x)|+|f(x)gn(x)-f(x)g(x)|
　　　　　　　　　　　　 ≦|gn(x)||fn(x)-f(x)|+|f(x)||gn(x)-g(x)|
なので∀ε1>0、∀ε2>0、∀x∈I、∃N1,N2（自然数）　s.t.
　n≧max{N1,N2}⇒|fn(x)gn(x)-f(x)g(x)|≦|gn(x)||fn(x)-f(x)|+|f(x)||gn(x)-g(x)|<|gn(x)|ε1+|f(x)|ε2

１．は多分問題ないと思うんですが、２．が結構不安です。
あと、ε-δ論法の証明の書き方って、こんな感じでいいんでしょうか？
そのあたりも分かる方がいたら教えてください。

回答No.1

BO-BO-keshi · ベストアンサー

こんばんは！

１についてですが、一様収束の定義に従って解答を書くとすると、
このように書く方がスマートではないでしょうか？
あと、少し変かな？と思う部分があるので訂正しました。
****************************************************************
仮定より
　∀ε1>0、∃N1(ε1)（自然数） s.t.　∀x∈I、n≧N1(ε1)⇒|fn(x)-f(x)|<ε1
　∀ε2>0、∃N2(ε2)（自然数） s.t.　∀x∈I、n≧N2(ε2)⇒|gn(x)-g(x)|<ε2
また、
|(fn(x)+gn(x))-(f(x)+g(x))|≦|fn(x)-f(x)|+|gn(x)-g(x)|
なので、
∀ε>0、∃N（　=max( N1(ε/2) , N2(ε/2) )　）　s.t.
　∀x∈I、n≧N
⇒ |(fn(x)+gn(x))-(f(x)+g(x))|≦|fn(x)-f(x)|+|gn(x)-g(x)| < ε/2+ε/2 = ε
****************************************************************
そして２についてですが、これは証明できません！
反例として
f(x) = g(x) = e^x fn(x) = gn(x) = e^x+(1/n)
が挙げられます。実際、
f(x)g(x)-fn(x)gn(x) = (2/n)e^x+(1/n)^2
となり、これはnがいくら大きくなっても、一様に値が小さくなりません。
fとgが有界だとかなんとかの条件があれば証明できるかな？

お礼

回答ありがとうございます。
１のスマートな回答の書き方を提示していただけて本当に参考になりました。
２には反例が存在するのですね。証明は自分でやってみることにします。

回答No.2

BO-BO-keshi

No.1のBO-BO-keshiです。
反例の式が見にくかったので書き直しますｗ

f(x) = g(x) = e^x
fn(x) = gn(x) = e^x + (1/n)

です。