一様収束・絶対収束などの利用法

質問

解析で、関数列や級数の収束・絶対収束・一様収束について勉強しているのですが、ε-δでの定義や様々な定義を見て、その記述に関しては、「ふむふむ、これを満たしていると○○収束なんだな」と理解できます。

しかし、関数列での○○収束や級数の○○収束など、定義が増えるにつれて、これらの○○収束がわかったとして、一体どういうふうに実際に役に立つんだ？と混乱してしまいます。

例えばですが、「関数列に関して、『極限をとったものの対数』と『対数をとったものの極限』が同じ、ということが○○収束から言える」というような何か具体的な○○収束の利用の仕方がわかれば、直感的に理解しやすくていいなぁと思うのです。もちろん、例を挙げるにとどまるには勿体無いほどの威力をもった概念なのだと思うのですが、理解の最初のステップとして、どなたか何かの例を教えていただけないでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.2

ringohatimitu · ベストアンサー

関数列の収束の概念によって関数列の無限和が定義されますがこれによって扱う関数のクラスが格段に広くなりますね。ひどく複雑な関数も定義できます。重要なことの一つに、ある目的に適した関数が級数で与えられることがしばしばある、ということです。
身近な例としては指数関数e^zがあります。色んな定義の仕方がありますがΣz^n/n!で定義するとき"広義一様"収束することがいったん示されれば微分可能であることが分かり項別微分して同じ関数が得られます。これは結局実微分方程式y'=yの一つの解を見つけてそれを複素平面に解析的に拡張したことに他なりません。いい例ではないかもしれませんがひとつの考え方として受け止めてみてください。

お礼

なるほど、、具体的な例を示してくださってありがとうございます。No1の方へのお礼にも書いたのですが、まだ収束概念の有難味が実感できないので、しばらく地道に勉強を続けてみようと思います。

ありがとうございました。

回答No.1

yumisamisiidesu

関数列の収束は確かに別に定義がありますが
本質的には数列や関数の収束に基づいてると思んですよ
ただ、関数の定義をそのまま関数列に当てはめるって言うのはちょっと無理があるからルベーグ積分論なんかの
概収束とか測度収束とか色々定義したんだと思います

そういうのは、後々どういうことと関わってくるかと言うと複雑な関数を単純な関数の一次結合で表すことに繋がると思います(フーリエ級数 etc)
そして、波動(振動)方程式や拡散(熱伝導)方程式なんかの解もフーリエ展開を使って表したりと
多分そういう関係なんじゃないかと思いますが？

お礼

複雑な関数をわかりやすい形で表示して調べるのに便利、ということなのですか。今の時点でそこまで実感がもてないので、もう少し勉強していかないと有難味がわからないのでしょうね。頑張って勉強してみようと思います。

どうもありがとうございました。