一様収束の判定

質問

ｆｎ(ｘ)＝ｎｘ(１―ｘ)^ｎ (０≦ｘ≦１)のとき、

問１．ｌｉｍ ｎ→∞ ｆｎ(ｘ)を求めよ

問２．一様収束かどうか判定せよ

という問題があります。
手も足も出ないのでヒントをお願いします(>_<)

回答No.3

noname#199771

＞一つ目の式から二つ目の式へ

0<f_n(x)
=nx(k/(1+k))^n　←1-x<k/(1+k)を使った
≦n(k/(1+k))^n ←x<1を使った
≦n/(((1+k)/k)^n) ←n乗の中身を分母に持っていった
=n/((1+(1/k))^n)　←(1+k)/k=1+(1/k)

回答No.2

noname#199771

#1の誤植訂正。失礼しました。

＞ε=2/eと置き、∀自然数Nに対してn=N, x=1/(n+1)と置いて、
＞f_n(x)≧ε
＞を言います。

↓

ε=1/(2e)と置き、∀自然数Nに対してn=N, x=1/(n+1)と置いて、
f_n(x)≧ε
を言います。

お礼

がんばります。

回答No.1

noname#199771

＞手も足も出ないのでヒントをお願いします(>_<)

大学4年（？）で手も足も出ないというのは大変ですね。
ではヒントを。

＞問1

x=0,1のときは明らか。

0<x<1のとき、∃自然数k　s.t. 0<1-x<k/(1+k)
このとき
0<f_n(x)<n/((1+1/k)^n)
がいえます。
分母を二項定理で展開し、はさみ打ちの定理を使います。

＞問2

ε=2/eと置き、∀自然数Nに対してn=N, x=1/(n+1)と置いて、
f_n(x)≧ε
を言います。

では、がんばって！

お礼

回答ありがとうございます。
残念ながら４回生でも数学屋さんでもないですが(>_<)
一つ目の式から二つ目の式への展開がわからないです(汗)