ノルムでは収束するが、各点では収束しない関数

質問

空でない集合Xに対して、測度μを導入します。
集合X上の可測関数fであって、|f(x)|^pが可積分であるような関数、つまり、
∫_X |f(x)|^p dμ(x)
が有限である関数全体を考えます(p乗可積分な関数)。この集合(ベクトル空間)をL^p(X,dμ)と書く事にします。

f∈L^p(X,dμ)のノルム||・||_pを
||f||_p = (∫_X |f(x)|^p dμ(x) )^(1/p)　(1≦p<∞)
||f||_∞ = ess.sup|f(x)|
で定義します。ess.supは、ある測度ゼロの集合Nを除いた,X＼N上をxが動いた時の|f(x)|の上限(本質的上限)です。
※このノルムに関してL^p(X,dμ)は完備になります。したががって、バナッハ空間です。
(必要なことは全て書いたつもりですが、必要なら補足します)

・質問１
lim[p→∞] ||f||_p=||f||_∞
でしょうか？
(有限次元の)普通のノルムの類推から成り立ちそうですが、何とも書かれていないので、気になります。
※証明が複雑なら、結果だけで構いません。

・質問２
定理
1≦p<∞,f,f[n]∈L^p(X,dμ)の時、
||f[n]-f||_p→0ならば、部分列{n_k}が存在してlim[k→∞]f[n_k](x) = f(x)がほとんどいたるところのxで成り立つ。

この定理で、『部分列{n_k}が存在して』は不可欠でしょうか？つまり、
||f[n]-f||_p→0ならば、lim[n→∞]f[n](x)=f(x)がほとんどいたるところで・・・
ではいけないのでしょうか？

まぁ、この定理の直ぐ後の箇所で「部分列」が強調されているので、成り立たないのだとは思います。具体的に、どのような反例があるでしょうか？
こちらも詳細な証明は不要ですが、簡単な説明(イメージ的なことでいいです)をしていただけると嬉しいです。

なお、X,μは何でもいいのですが、できるだけ分かりやすい例がいいので、例えばX=[0,1],μ:ルベーグ測度などとしてください(別のでも構いませんが)。
pは一般の方がいいですが、面倒なら特別なp(例えばp=2)で構いません。

回答No.1

ringohatimitu · ベストアンサー

質問１に関してですがこれは良く知られた練習問題で有限測度空間の場合成り立ちます。ところが測度空間が有限ではない場合は一般には成り立たないと思われます。少なくとも命題にある程度の意味を持たせるためにはｆがすべてのpに対して∈L^pかつL^∞でなければなりませんがこれでも反例があると思われます。
次に質問２についてですが次のような簡単な反例があります：ｐを固定します。
まず区間[0,1]上で0または1に値を持つ関数を考えます。[0,1]を二等分、三等分、四等分、、、と分けていき二等分したときの最初の区間[0,1/2]上で1、最後の区間[1/2,1]上で0と定めた関数をf_1とします。次に[0,1/2]上で0、[1/2,1]上で1と定めた関数をf_2とします。以下同様にして関数f_3,f_4,f_5,...と定めていくときこの関数列は問題の反例になっています。
まず各関数のノルムですが明らかに0に収束しています。サポートの測度が0に収束して、かつ関数が1という値しか取っていないからです。次に各点での収束を見てみましょう。任意の点を固定します。このときどんなに大きくｎをとっても必ずその点で１となる関数が存在します。したがってすべての点において0に収束しないどころか収束さえしていません。ところが区間の等分の仕方より明らかに0に各点で収束するように部分列が取れます。

お礼

ご回答ありがとうございます。
パルスを移動させつつ、パルスの幅をゼロに近付ければよかったんですね。目からうろこでした。