一様収束か否かの判定の決め手は?
こんにちは。
[問]数列{nxe^(-n(1+x^2))}は(0,∞)で一様収束するが{nxe^(-nx^2)}は(0,∞)で一様収束しない。
という問題ですが何から手をつければいいのか分かりません。
もし[a,∞)(a>0)なら
(i) a≦x(0<a<1)の時
0<na<nx<n,0<e^(na^2)≦e^(nx^2)<e^nよりnx/e^(nx^2)<n/e^(na^2)→0なのでnx/e^(nx^2)→0.
従って∃L1∈N;a≦∀x<1,L1<n⇒|0-f_n(x)|<ε
(ii) x=1の時
n/e^n→0より∃L2∈N;L2<n⇒|0-fn(x)|<ε
(iii) 1<xの時
0<n<nx<nx^2よりnx/e^(nx^2)<nx/e^(nx)→0でnx/e^(nx^2)→0
従って,∃L3∈N;L3<n⇒|0-fn(x)|<ε
(i),(ii),(iii)からL:=max{L1,L2,L3}と採れば∀x∈[a,∞),L<n⇒|0-fn(x)|<ε
となるかと思いますが
区間(0,∞)の場合はどうやって(0,∞)で一様収束するが{nxe^(-nx^2)}は(0,∞)で一様収束しない事をいえば言いの代わりません。
